AVLTree——高度平衡二叉搜索树
目录
一、AVLTree的引入
二、概念
1、概念
2、结点实现
3、整体框架
三、新节点的插入
1、插入
2、平衡因子更新规则
四、旋转调平衡
1、左单旋
2、右单旋
3、左右双旋
4、右左双旋
五、总代码
1、AVLTree.h
2、test.cpp
一、AVLTree的引入
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法——AVLTree。
AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
二、概念
1、概念
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1、它的左右子树都是AVL树。
2、左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)。
3、平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。
2、结点实现
template
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
pair _kv;
int _bf; //平衡因子 balance factor
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _bf(0)
{}
}; 3、整体框架
template
struct AVLTree
{
typedef AVLTreeNode Node;
private:
Node* _root = nullptr;
} 三、新节点的插入
1、插入
因为AVL树是一颗搜索二叉树，所以它的插入和我们前面讲到的搜索二叉树的插入一样，我们都是小的往左子树插入，大的往右子树插入。代码如下：
bool insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//调整平衡
// 1、更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (abs(parent->_bf) == 1)
{
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
}
else if (abs(parent->_bf) == 2)
{
// 说明parent 所在的子树不平衡了，需要旋转处理
// 1、单旋
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右单旋
{
RotateR(parent);
}
//2、双旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)// 左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
} 我们在插入一个新的结点后，先要更新平衡因子。而插入新节点后，AVL树可能不会平衡了，所以我们必须根据平衡因子去判断它是否平衡，如果不平衡，我们就需要进行旋转调整。
2、平衡因子更新规则
1、新增在右，parent->bf++，新增在左，parent->bf--。
2、更新后，parent->bf == 1 or -1，说明parent插入前的平衡因子是0，且左右子树高度相等，插入后有一边高，parent高度变了，需要继续往上更新
3、更新后，parent->bf == 0，说明parent插入前的平衡因子是1 or -1,说明左右子树一边高一边低，插入后两边一样高，插入填上了矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要往上继续更新
4、更新后，parent->bf == 2 or -2，说明parent插入之前的平衡因子是1 or -1，已是平衡临界值，插入变成 2 or -2，打破平衡，parent所在子树需要旋转处理。
上面的代码中有四个函数涉及到旋转调节平衡。那么下面我们就来详细讲解一下四种情况的旋转调节AVL树的平衡。
四、旋转调平衡
1、左单旋
我们在出现了下面的情况后就必须对树进行左单旋。即新节点插入较高右子树的右侧——左单旋。
一般步骤：
1、subRL成为parent的右子树，然后要更新subRL的父亲为parent，更新parent的右为subRL（注：subRL可能为空）。
2、parent成为subR的左子树，更新parent的父亲为subR，而subR的左为parent。
3、注意parent是不是整棵树的root，如果是，则让subR成为_root，同时让_root->_parent置为空；如果不是，就将subR连接到它父亲的左或者右。最后更新平衡因子。
void RotateL(Node* parent) //左单旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* pparent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
pparent->_left = subR;
else
pparent->_right = subR;
subR->_parent = pparent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}2、右单旋
新节点插入较高左子树的左侧——右单旋。
一般步骤：
1、subLR成为parent的左子树，然后要更新subLR的父亲为parent，更新parent的左为subLR（注：subRL可能为空）。
2、parent成为subR的右子树，更新parent的父亲为subL，而subL的右为parent。
3、注意parent是不是整棵树的root，如果是，则让subL成为_root，同时让_root->_parent置为空；如果不是，就将subL连接到它父亲的左或者右。最后更新平衡因子。
void RotateR(Node* parent) //右单旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
pparent->_left = subL;
else
pparent->_right = subL;
subL->_parent = pparent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}3、左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧——先左单旋再右单旋。
一般步骤：
1、先调用左单旋函数，对parent的左进行左单旋。
2、再调用右单旋函数，对parent进行右单旋。
3、根据原来的subLR的平衡因子的大小，来更新parent和subL的平衡因子。
void RotateLR(Node* parent) //左右双旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}4、右左双旋
新节点插入较高右子树的左侧——先右单旋再左单旋。
一般步骤：
1、先调用右单旋函数，对parent的右进行右单旋。
2、再调用左单旋函数，对parent进行左单旋。
3、根据原来的subRL的平衡因子的大小，来更新parent和subR的平衡因子。
void RotateRL(Node* parent) //右左双旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}五、AVL树的验证
首先我们验证它是一棵二叉搜索树，如果一棵树的中序遍历的结果是有序的，那么他就是一棵二叉搜索树。用下面的代码：
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}一棵树在满足它是一棵二叉搜索树后，再去判断它是否是AVL树。
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int left = Height(root->_left);
int right = Height(root->_right);
int diff(right - left);
if (diff != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
}
return abs(diff) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}验证结果代码：
void test_AVLTree2()
{
//测试双旋平衡因子的调节
int b[] = { 4,2,6,1,3,515,7,16,14 };
AVLTree t;
for (auto e : b)
{
t.insert(make_pair(e, e));
}
t.InOrder();
cout << "IsBalance: " << t.IsBalance() << endl;
} 运行结果：
六、总代码
1、AVLTree.h
#pragma once
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
//高度平衡二叉搜索树
template
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
pair _kv;
int _bf; //平衡因子 balance factor
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _bf(0)
{}
};
template
struct AVLTree
{
typedef AVLTreeNode Node;
public:
bool insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//调整平衡
// 1、更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (abs(parent->_bf) == 1)
{
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
}
else if (abs(parent->_bf) == 2)
{
// 说明parent 所在的子树不平衡了，需要旋转处理
// 1、单旋
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右单旋
{
RotateR(parent);
}
//2、双旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)// 左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
private:
void RotateL(Node* parent) //左单旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* pparent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
pparent->_left = subR;
else
pparent->_right = subR;
subR->_parent = pparent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent) //右单旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
pparent->_left = subL;
else
pparent->_right = subL;
subL->_parent = pparent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent) //左右双旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent) //右左双旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int left = Height(root->_left);
int right = Height(root->_right);
int diff(right - left);
if (diff != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
}
return abs(diff) < 2
&& _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
void test_AVLTree1()
{
int a[] = { 16,3,7,11,9,26,18,14,15 };
AVLTree t1;
for (auto e : a)
{
t1.insert(make_pair(e, e));
}
t1.InOrder();
cout << "IsBalance: " << t1.IsBalance() << endl;
}
void test_AVLTree2()
{
//测试双旋平衡因子的调节
int b[] = { 4,2,6,1,3,515,7,16,14 };
AVLTree t;
for (auto e : b)
{
t.insert(make_pair(e, e));
}
cout << "IsBalance: " << t.IsBalance() << endl;
} 2、test.cpp
#include"AVLTree.h"
int main()
{
test_AVLTree1();
cout << "——————————————" << endl;
test_AVLTree2();
return 0;
}运行结果：
