线性规划之单纯形法

一、前言

迭代改进思想是算法设计中常用的求解最优问题的方法，一般思路是：

• 任取一个可行解
• 判断可行解是否是最优的，若是，算法结束
• 若不是，找到一个比当前可行解更好的可行解，并替代它，继续步骤2
  事实上，判断可行解的过程就能找到（或不能）一个更好的可行解。
  线性规划问题，是在约束条件下求最大值或最小值的问题。
  例如
  
  
  显然z=3x+5y的x越大越好，y越大越好。x=3,y=1得zmax=14

而解线性规划问题最好的方法，就是单纯形法了，它也是用到了迭代改进的思想。此外，网络最大流问题，二分图的最大匹配问题，稳定婚姻问题均用到了迭代改进的思想。

二、单纯形法

单纯形法，是美国数学家George B. Dantzig于1947年发明的解决线性规划问题的经典算法，他被公认为是线性规划理论之父，也是单纯形法的发明者，由于瑞典皇家科学院不设诺贝尔数学奖，因此无缘得此殊荣。
后来1975年，苏联的Kantorovich和荷裔美国人Koopmans因为对线性规划理论及其经济学应用的贡献获得诺贝尔经济学奖。
准备工作：标准形式，引入松弛变量。
单纯形法要求先要把线性规划的不等式转化为标准形式：

1. 必须是一个最大化问题。若是最小化问题，如求z=3x+5y的最小值，可以在转化为求-z=-3x-5y的最大值。
2. 所有约束都用线性方程组的形式表示，即全用等号表示。
3. 所有变量非负。
   为了使不等式转变为等式，引入松弛变量，看个例子就明白了。
   
   引入松弛变量u，v，得：
   

验算一下，u=4-x-y≥0，得x+y≤5，是等价的。同理v=6-x-3y≥0等价于x+3y≤6。
引入松弛变量的目的就是把不等式转化为等式。
单纯形法步骤演示
第一步，初始化，先给出单纯形法的初始表
(x,y)=（0,0）为起点，则(x,y,u,v)=(0,0,4,6), 简写为(0,0,1,1)，表示x和y为非基本变量，u和v为基本变量。

以u，v为基本变量（它们组成单位矩阵），x和y为非基本变量。第一行和第二行对应线性方程组的系数，最后一行（目标行）对应目标函数的系数取反（为什么取反，目前还没搞懂）。
最后一列表示基本变量的取值，最后一行最后一列是目标函数的取值。
第二步，最优测试
如果目标行（矩阵最后一行，不包括最后一列，因为它是目标函数的取值）的所有单元格都是非负的，则当前为最优解，算法结束，这是基于一个定理：

极点定理：可行区域非空的任意线性规划问题有最优解，而且，最优解总是能够在可行区域的一个极点上找到。

最优解的基本变量的值为矩阵的最右列中，最优解为最后一行最后一列对应的值。
显然，当前初始化的最后一行存在负数，说明可以进一步优化。
第三步，确定输入变量
输入变量，是指由非基本变量（如当前的x和y）转变为基本变量的变量。
从目标行（最后一行）单元格中选择一个负数绝对值最大的单元格，若负数绝对值相同，则任选其一。
选择绝对值最大的负数是基于这样一个事实，即负数绝对值更大的列，更有增长的潜力。
如上例选择了-5，因为-5绝对值大于-3。该单元格确定了输入变量和主元列（如下图蓝色方框标出）。

第四步，确定分离变量
分离变量，是指由基本变量（如u，v，它们的系数都是1和0组成）转变为非基本变量的变量。
分离变量的选择：


用最右列的（4和6）分别除以输入变量对应列的系数（1和3），选择较小的比值theta对应的变量。当较小的是v。
这一步，确定了分离变量和主元行（下图绿框标出）。

第五步，建立下一张表格
上述第三步确定了输入变量y，第四步确定了分离变量u。
由(0,0,1,1)转变为(0,1,1,0)，表示x和v为非基本变量，y和u为基本变量。

将上述矩阵，经过行初等变换，转变为下面的矩阵（基本变量对应的系数恰好为单位）（可以自己算一算）：

转换结果：

这里就完成了一次单纯形法的循环，由于还可以优化，会继续回到第二步，就不详细叙述了。
再进行一次循环，矩阵将变成：

最后一行（不包括最后一列）的值全为非负数说，说明当前为最优解14，最后一列是基本变量的取值，x=3,y=1