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【二分查找】2023B-最佳植树距离

题目描述与示例

题目描述

小明在直线的公路上种树，现在给定可以种树的坑位的数量和位置，以及需要种多少棵树苗，问树苗之间的最小间距是多少时，可以保证种的最均匀（两棵树苗之间的最小间距最大）

输入

输入三行：

• 第一行一个整数：坑位的数量
• 第二行以空格分隔的数组：坑位的位置
• 第三行一个整数：需要种植树苗的数量

输出

树苗之间的最小间距

示例一

输入

7
1 3 6 7 8 11 13
3

输出

6

说明

三颗树苗分别种在 1、7、13 的位置，可以保证种的最均匀，树苗之间的最小间距为 6。如果选择最小间距为 7，则无法种下3颗树苗。

解题思路

二段性分析

考虑最小种植间距interval与可种植树木数量之间的关系

• 最小种植间距interval越大的时候，在原列表trees中只能种下越少的树。当取到最值interval = max(trees) - min(trees)时，则只能种下一棵树，可种植树木数量为1。
• 最小种植间距interval越小的时候，在原列表trees中可以种下越多的树。当取到最值interval = 1时，所有坑位都能种下树木，可种植树木数量为len(trees)。
• 对于在区间[1, max(trees) - min(trees)]之间取值的最小种植间距interval而言，一定存在一个值ans，使得
  • 当interval ∈ [0, ans]时，可以种下N棵树。
  • 当interval ∈ (ans, max(bucketBallNums)]时，不能种下N棵树。
  • 这体现了这个问题的二段性，ans是我们需要的答案，而ans的寻找就可以用二分查找来完成。

子问题分析

对于二分查找过程中得到的每一个最小种植间距interval = mid，我们都要去判断在该间距的条件下 trees 数组能否成功种下 N 棵树。对于这个问题，我们可以用贪心的思路来解决

• 我们需要先对trees数组以升序排序，这样才能方便统计相邻坑位距离
• 我们已知前一棵树的位置是pre_tree，那么对于当前树位置cur_tree，当
  • 当前树 cur_tree 和上一棵树 pre_tree 的距离大于等于最小种植间距interval，我们种下当前树，种下树的总数 num增加1。同时，对于后面的树而言，当前树 cur_tree 成了其上一棵树，故修改上一棵树的变量pre_tree = cur_tree
  • 当前树 cur_tree 和上一棵树 pre_tree 的距离小于最小种植间距interval，无法种下当前树，pre_tree也无需做出任何修改。
• 由于第一个位置肯定贪心地被种下，因此种下的数目num初始化为1，同时初始化pre_tree = trees[0]即为第一棵树的位置。

上述逻辑整理为代码即构建 check_available(interval, trees, N) 函数

def check_available(interval, trees, N):
    num = 1
    pre_tree = trees[0]
    for cur_tree in trees[1:]:
        if cur_tree - pre_tree >= interval:
            pre_tree = cur_tree
            num += 1
            if num == N:
                return True
    return False

代码

# 题目：2023B-最佳植树距离
# 分值：200
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：二分查找
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问


# 该函数用于检查：当选择两树最小间距为 interval 时，能否种下 N 棵树
def check_available(interval, trees, N):
    # 第一个位置肯定种下，因此种下的数目num初始化为1
    num = 1
    # 初始化变量 pre_tree，用于记录上一棵树的位置
    pre_tree = trees[0]
    # 从索引为1的树开始，遍历所有trees
    for cur_tree in trees[1:]:
        # 如果当前树 cur_tree 和上一棵树 pre_tree 的距离超过传入的间距 interval，
        # 那么可以在cur_tree的位置种下一棵树，故种下的数目+1
        # 同时 pre_tree 需要更新为 cur_tree，即对于下一棵树而言，当前cur_tree是其上一棵树
        if cur_tree - pre_tree >= interval:
            pre_tree = cur_tree
            num += 1
            # 如果在当前interval的条件下，当前种下数目 num 可以等于要求种植数量 N，
            # 那么返回 True，表示该 interval 是一个合适的间隔距离。
            if num == N:
                return True
    return False


# M个坑
M = int(input())
# M个坑位具体位置
trees = list(map(int, input().split()))
# 种N棵树
N = int(input())

# 对trees数组进行排序，方便统计相邻坑位距离
trees.sort()

left, right = 1, trees[-1] - trees[0] + 1

# 左闭右开区间，退出循环时存在 left = right = mid
# 循环不变量为left < right
while left < right:
    # 计算 left 和 right 的平均值 mid
    mid = (left + right) // 2
    # 当间隔取 mid 时，可以种入 N 棵树
    # 说明当前间隔 mid 太小，left右移
    # 退出循环时，left 恰好不满足if条件语句
    # 即存在 check_available(left, trees, N)为False
    # left是该式子成立的第一个整数，故 left - 1是为答案
    if check_available(mid, trees, N):
        left = mid + 1
    else:
        right = mid

# interval = left-1 是使得
# check_available(interval, trees, N)满足的最大整数
print(left - 1)

时空复杂度

时间复杂度：O(MlogN + MlogM)。

• 排序时间复杂度为O(MlogM)
• 子问题单次求解即函数check_available(interval, trees, N)时间复杂度为O(M)
• 二分查找算法的时间复杂度为O(logN)。每次都需要调用check_available()函数，故总的二分查找时间复杂度度为O(MlogN)

空间复杂度：O(1)。

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