动态规划解决完全背包问题(cpp)

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1. 问题描述

有 N 种物品和一个容量是 W 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 wi，价值是 vi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

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2. 输入格式

第一行两个整数，N，W，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数wi，vi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

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3. 输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

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4. 数据范围

0

W≤1000,

0

vi≤1000

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5. 输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

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6. 输出样例

10

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7. 问题分析

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8. 代码实现

#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 5;//最大物品数量
int w[maxn], v[maxn], dp[maxn][maxn];//w物品重量 v物品价值 dp总价值

int main(){
    int N, W;//物品种类数和最大容量
    cin >> N >> W;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)//从下标1开始存储每件物品的重量和价值
        cin >> w[i] >> v[i];
    for(int i = 1; i <= N; ++i){
        for(int j = 0; j <= W; ++j){
            dp[i][j] = dp[i-1][j];//不选
            if(w[i]<=j)//如果重量小于j
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    cout << dp[N][W] << endl;
    return 0;
}

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9. 优化算法

找到规律发现每次下一个只与当前行的数据有关系

状态转移方程：f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i])

#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 5;//最大物品数量
int w[maxn], v[maxn], dp[maxn];//w物品重量 v物品价值 dp总价值

int main(){
    int N, W;//物品种类数和最大容量
    cin >> N >> W;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)//从下标1开始存储每件物品的重量和价值
        cin >> w[i] >> v[i];
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
        for(int j = w[i]; j <= W; ++j)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
    cout << dp[W] << endl;
    return 0;
}

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10. 方案求解

int ans[maxn] = {0};
void solution(int N,int W){
    int w0 = W;
    for(int i = N;i>=1;--i){
        for(int k = 0;k<=W/w[i];++k){
            if(dp[i][w0] == dp[i-1][w0-k*w[i]]+k*v[i]){
                ans[i] = k;
                w0 = w0 - k*w[i];
                break;
            }
        }
    }
    return;
}

• ——————END-2022-03-30——————
• 个人学习笔记，如有纰漏，敬请指正。
• 感谢您的阅读。