自从深度学习大热以后各种模型层出不穷，但仔细琢磨你会发现，它们无外乎都是由卷积层、全连接层、pooling、batch norm、activation这几个基本的元素组合而成的。
全连接层指的是层中的每个节点都会连接它下一层的所有节点，它是模仿人脑神经结构来构建的。脑神经科学家们发现，人的认知能力、记忆力和创造力源于不同神经元之间的连接强弱。因此，早期的神经网络一派的创立有点仿生学的意思，以至于到现在还有学者在研究脑神经科学和AI的结合。
实际上，现在这一轮的人工智能早已不是基于仿生学，而是基于统计学，它要解决的是各种数学问题，像是：
- 通过“线性层-非线性层”的嵌套组合来构建可以解决任意（近似）问题的数学模型 -- 你真的明白神经网络？
- 通过求损失函数对变量的导数来优化模型的变量 -- 一文搞懂梯度下降&反向传播
- 通过初始化变量来优化变量的梯度消失问题 -- 一文搞懂深度网络初始化
本文也将从计算的角度出发，深入浅出全连接层。点击下方链接查看文中完整源码：https://github.com/alexshuang/deep_nerual_network_from_scratch/blob/master/HeadFirstLinearLayer.ipynb
矩阵相乘（GEMM）
全连接层的前向传播过程就是在做矩阵相乘（不考虑bias），input矩阵 * weight矩阵，即：矩阵的第个channel第行第列的元素 = 矩阵的第个channel的第行 矩阵的第个channel的第列。这个动态演示页面可以帮你快速建立起对矩阵相乘更直观的认识。
M = 128
N = 128
K = 128
C = 32
def matmul(m_a, m_b, m_c):
for c in range(C):
for m in range(M):
for n in range(N):
val = 0.
for k in range(K):
val += m_a[c,m,k] * m_b[c,k,n]
m_c[c,m,n] = val
%time matmul(matrix_a, matrix_b, matrix_c)
CPU times: user 35.1 s, sys: 9.6 ms, total: 35.1 s
Wall time: 35.1 s
matmul()是用python实现的矩阵乘法函数，算法的时间复杂度是，这就是为什么RNN模型训练起来要比CNN模型慢得多，因为相比CNN，RNN的全连接层数太多了。
我们知道numpy有boardcast机制，在这个例子中，可以通过它来去掉matmul()中的循环，即：
def matmul_boardcast(m_a, m_b, m_c):
for c in range(C):
for m in range(M):
for n in range(N):
m_c[c,m,n] = (m_a[c,m,:] * m_b[c,:,n]).sum()
%time matmul_boardcast(matrix_a, matrix_b, matrix_c)
CPU times: user 2.14 s, sys: 78 ms, total: 2.22 s
Wall time: 2.14 s
由于boardcast的作用，matmul_boardcast()的时间复杂度从降低到，计算速度提升了17倍。
并行化
numpy的boardcast之所以能去掉循环，是因为向量的点乘运算()是满足结合律和交换律的，因此可以用SIMD指令来并行化计算，即在中，可以用N个cpu core来分别计算、、... ，再将所有计算结果加总起来，这些运算都是同时（并行）进行的，因此比for循环要快得多。
相比CPU，GPU的并行化能力更强，因为它有成千上万个core。通过matmul_gpu()可以看到，GPU是如何通过并行化来去掉C、M和N这三个for循环的：
kernel = SourceModule("""
__global__ void matmul(double *mat_a, double *mat_b, double *mat_c, int C, int M, int N, int K)
{
/* 将thread id映射到相应的memory address */
int height = blockIdx.y * blockDim.y + threadIdx.y;
int weight = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;
int channel = blockIdx.z * blockDim.z + threadIdx.z;
int thread_idx = channel * M * N + height * N + weight;
/* 通过并行化去掉了for loop C/M/N，只需要for loop K */
if (channel < C && height < M && weight < N) {
double val = 0;
for (int k = 0; k < K; k++)
val += mat_a[channel * M * N + height * N + k] * mat_b[channel * M * N + k * N + weight];
mat_c[thread_idx] = val;
}
}
""")
def matmul_gpu(m_a, m_b, m_c):
dev_a = gpuarray.to_gpu(m_a.reshape(-1))
dev_b = gpuarray.to_gpu(m_b.reshape(-1))
dev_c = gpuarray.to_gpu(m_c.reshape(-1))
matmul_cuda = kernel.get_function("matmul")
matmul_cuda(dev_a, dev_b, dev_c, np.int32(C), np.int32(M), np.int32(N), np.int32(K), block=(32,32,1), grid=(N//32,M//32,C))
return dev_c.get().reshape(C,M,N)
%time c = matmul_gpu(matrix_a, matrix_b, matrix_c)
CPU times: user 7.18 ms, sys: 2 ms, total: 9.18 ms
Wall time: 10.3 ms
我的显卡是Nvidia的，需要用到CUDA（Nvidia GPU编程的开发框架，如果你安装过Tensorflow你会记得它），它的编程语言是C，因此，matmul(double *mat_a, ...)是用C写的。
用“__global__”关键字修饰的函数在GPU编程中称为kernel。GPU有成千上万个core，每个core并行运行同一个kernel，这些kernel通过各自的thread id来明确自己要处理的data，这样的架构就称为SIMD（Single Instruction Multiple Data）。
这里不会展开介绍CUDA和Pycuda编程，如果有兴趣可以学习CUDA_C_Programming_Guide.pdf和相关课程，你只要重点关注下面这部分代码即可：
/* 通过并行化去掉了for loop C/M/N，只需要for loop K */
if (channel < C && height < M && weight < N) {
double val = 0;
for (int k = 0; k < K; k++)
val += mat_a[channel * M * N + height * N + k] * mat_b[channel * M * N + k * N + weight];
mat_c[thread_idx] = val;
}
可以看到，C、M和N这三个for循环已经消失了，只留下K循环，算法时间复杂度也从变成了，计算速度提升了3500倍！
Pytorch Matmul
matmul_gpu()中kernel的效率还可以进一步优化，而这部分工作已经由Nvidia替我们完成了。Nvidia提供了优化好的线性代数运算库--cuBLAS，Pytorch中的matmul()函数会调用它来进行矩阵乘法计算。
matrix_a = torch.randn(C, M, K)
matrix_b = torch.randn(C, K, N)
%time matrix_c = matrix_a.matmul(matrix_b)
CPU times: user 3.38 ms, sys: 0 ns, total: 3.38 ms
Wall time: 2.62 ms
可以看到，Pytorch的matmul()的效率比matmul_gpu()提升了4倍。之所以有400%的提升，是因为cuBLAS充分利用缓存、共享内存、内存局部性等技术，提升了GPU的内存带宽和指令吞吐量，这部分知识与计算机/GPU体系结构相关，在这里就不过多展开了。
小结
全连接层实质上就是矩阵相乘，由于它在数学上满足交换律和结合律，因此可以用并行化来加速计算，cuBLAS就是Nvidia为深度学习提供的数学（矩阵）加速运算库，它已经集成到Pytorch、Tensorflow这些深度学习框架中。
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