Jweeeeee

【游戏数值】装备强化模型

问题背景：游戏强化装备期望是怎么计算的？@知乎

解答参考该问题下@刘昆和@朱元晨两位dalao的回答

马氏链期望计算例子：[markov系列2]马尔可夫链中的期望问题

装备有个等级，，对等级的装备强化有等级变为和两个结果（停留在等级也可以视作三个结果）。装备等级变化之间是条件独立的，本次强化结果只和前一次强化结果相关。

马尔科夫过程的期望次数

定义随机过程表示，记，即为

其中，表示的概率。

由此得到一步状态转移矩阵为
$P = \left(\begin{matrix} 1-p_1 & p_1 & 0 & · & · & 0 & 0 \\ · & 0 & · & · & · & · & 0 \\ 0 & 1-p_n & · & p_n & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & · \\ · & · & · & · & · & · & · \\ 0 & 0 & · & · & · & 1-p_N & 0 \end{matrix}\right)$

表示从，显然有

这里+1实际上是补了一个不存在的状态辅助计算，用来描述，状态到都是互达的，状态到状态的概率为1，状态到任意状态的概率为0.

可以得到线性方程组

$\begin{cases} E_{1,N} = \sum_{i=1}^{N}E_{i,N}\cdot p_{1,i}+1\\E_{2,N} = \sum_{i=1}^{N}E_{i,N}\cdot p_{2,i}+1\\······\\E_{N-1,N} = \sum_{i=1}^{N}E_{i,N}\cdot p_{N-1,i}+1 \end{cases}$

进一步有

$\left[\begin{matrix}E_{1,N}\\E_{2,N}\\·\\·\\·\\E_{N-1,N}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1-p_1 & 0 & p_1 & · & · & ·\\0 & 1-p_2 & 0 & · & · & ·\\· & · & · & · & · & ·\\· & · & · & · & · & ·\\· & · & · & · & · & ·\\· & · & · & · & 1-p_n & ·\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E_{1,N}\\E_{2,N}\\·\\·\\·\\E_{N-1,N}\end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{matrix}\right]$

故

其中为状态转移矩阵，为单位矩阵。

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