数学建模| 非线性规划（Matlab）
非线性规划（Matlab）
- 非线性规划
- Matlab函数
- Matlab使用例子
非线性规划
非线性规划：约束条件和目标函数存在非线性函数。简单点说，约束条件和目标函数中至少一个决策变量不是一次方，例如三角函数、对数、多次方等。
线性规划和非线性在解决上的不同：线性规划可以有通用方法，但是非线性规划的求解是没有特定算的，只能用近似的算法，每种算法都有自己适用的范围。这些算法有很多，Matlab内部已经实现好了，有现成的函数，如果想了解内部具体的实现可以另寻查找，本文就只介绍如何调用Matlab中的函数达成求非线性规划。
Matlab函数
Matlab函数：
[x,value]=fmincon(func,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)
参数解释：
- func 表示目标函数。
- A 表示不等式约束条件系数矩阵，b 表示不等式约束条件常数矩阵。
- Aeq 表示等式约束条件系数矩阵，beq 表示等式约束条件常数矩阵。
- lb 表示决策变量的下限数组，ub表示决策变量的上限数组。
- x 表示目标函数 func 取得最小值时的决策变量取值数组。
- value 表示目标函数 func 取得的最小值。
- x0表示初始值。
- nonlcon 非线性约束，包括不等式和等式。
- options是优化参数。
Matlab中线性规划的标准形式：C(x)和Ceq(x)是非线性约束的不等式和等式。
min f ( x ) \min f(x) minf(x)
s . t . { A x ⩽ b A e q ⋅ x = b e q l b ⩽ x ⩽ u b C ( x ) ⩽ 0 C e q ( x ) = 0 s.t. \begin{cases} Ax\leqslant b\\ Aeq\cdot x= beq\\ lb\leqslant x\leqslant ub\\ C(x)\leqslant0\\ Ceq(x)=0\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧Ax⩽bAeq⋅x=beqlb⩽x⩽ubC(x)⩽0Ceq(x)=0
使用注意：
- 对于不存在的约束用空矩阵[]。
- 使用前需要把目标函数和约束对象化成Matlab标准形式。
- func和nonlcon需要用M文件定义，因为非线性涉及多少次幂，线性规划中只需要给系数矩阵即可。
- x0初始值按决策变量维度取实数即可，对求解速度会有影响，例如一下子就选中最小值的点为初始值。
- options可以不填。
- A、b、Aeq、beq依旧是修饰线性约束的。
Matlab使用例子
步骤：按照数模题目进行建模，得到目标函数和约束条件，然后把目标函数和约束条件化为标准形式，再化成matlab里面矩阵形式，最后填入代码中。
目标函数+约束条件：
m a x z = − x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 + 6 max\quad z=-{x_1}^2-{x_2}^2-{x_3}^2+6 maxz=−x12−x22−x32+6
s . t . { x 1 2 − x 2 = 0 x 1 − x 2 2 + x 3 3 ≥ 2 x 1 + x 2 2 − 2 x 3 ≤ 5 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 s.t. \begin{cases} {x_1}^2-x_2=0\\ x_1-{x_2}^2+{x_3}^3\geq2\\ x_1+{x_2}^2-2x_3\leq5\\ x_1,x_2,x_3\geq0\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x12−x2=0x1−x22+x33≥2x1+x22−2x3≤5x1,x2,x3≥0
Matlab标准格式化：
m i n f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 6 min\quad f(x)={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2-6 minf(x)=x12+x22+x32−6
s . t . { x 1 2 − x 2 + 0 ∗ x 3 = 0 − x 1 + x 2 2 − x 3 3 + 2 ≤ 0 x 1 + x 2 2 − 2 x 3 − 5 ≤ 0 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 s.t. \begin{cases} {x_1}^2-x_2+0*x_3=0\\ -x_1+{x_2}^2-{x_3}^3+2\leq0\\ x_1+{x_2}^2-2x_3-5\leq0\\ x_1,x_2,x_3\geq0\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x12−x2+0∗x3=0−x1+x22−x33+2≤0x1+x22−2x3−5≤0x1,x2,x3≥0
func.m
function f=func(x)
func=sum(x.^2)-6;
nonlcon.m
function [C,Ceq]=nonlcon(x)
C=[-x(1)+x(2)^2-x(3)^2+2;
x(1)+x(2)^2-2*x(3)-5]
Ceq=[x(1)^2-x(2)]
主文件代码
[x,value]=fmincon('func',[2,1,0],[],[],[],[],[0,0,0],[],'nonlcon');