高中奥数 2021-11-07

2021-11-07-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P105 习题01）

设与分别是锐角的外接圆与内切圆的半径,设是的三个内角中最大的一个,是边的中点,过点、作的外接圆的切线,交于点.证明:.

证明

设与分别是锐角的外心与内心,则、、三点共线,且.

图1

因此,.

由于,可得.

于是,.

从而.

下面只需再证明.

比较与,由于是锐角三角形,与位于内部,于是,有

类似可得.

于是位于内部或边界上.

因此,.

2021-11-07-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题02）

已知、、和分别为三角形的三边长和外接圆半径.证明:

证明

要证,只要证

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{4R^{2}\sin A\cdot \sin B}+\dfrac{1}{4R^{2}\sin B\cdot \sin C}+\dfrac{1}{4R^{2}\sin C\cdot \sin A}\geqslant \dfrac{1}{R^{2}}\\\Leftrightarrow &\dfrac{1}{4\sin A\cdot \sin B}+\dfrac{1}{4\sin B\cdot \sin C}+\dfrac{1}{4\sin C\cdot \sin A}\geqslant 1\\\Leftrightarrow &\sin A+\sin B+\sin C\geqslant 4\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\\\Leftrightarrow &2\sin \dfrac{A+B}{2}\cdot \cos\dfrac{A-B}{2}+2\sin \dfrac{A+B}{2}\cdot \cos \dfrac{A+B}{2}\geqslant 4\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\\\Leftrightarrow &\cos \dfrac{C}{2}\cdot\left(\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{A+B}{2}\right)\geqslant 2\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\\\Leftrightarrow &2\cos \dfrac{A}{2}\cdot \cos \dfrac{B}{2}\cdot\cos \dfrac{C}{2}\geqslant 2\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\\\Leftrightarrow &\sin \dfrac{A}{2}\cdot \sin \dfrac{B}{2}\cdot \sin \dfrac{C}{2}\leqslant \dfrac{1}{8}. \end{aligned}$

下面证明上式成立.

$\begin{aligned} \sin \dfrac{A}{2}\cdot \sin \dfrac{B}{2}\cdot \sin \dfrac{C}{2} &\leqslant\left(\dfrac{\sin \dfrac{A}{2}+ \sin \dfrac{B}{2}+ \sin \dfrac{C}{2}}{3}\right)^3\\&\leqslant \sin ^{3}\dfrac{\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}+\dfrac{C}{2}}{3}\\&=\dfrac{1}{8}. \end{aligned}$

则前式成立.

因此,所证不等式成立.

2021-11-07-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题03）

已知的三边长分别为、、,点在的内部,到三条边的距离分别为、、.证明:,其中为的外接圆半径,并确定等号成立的条件.

证明

设的面积为,则.

由均值不等式有

.(1)

故只需证.

又因为.(2)

所以,只需证.(3)

而,所以,式(3)成立.

因此,原不等式成立.

式(1)的等号成立的条件是,式(2)的等号成立的条件是,所以,原不等式等号成立的条件是且,即是正三角形且是的中心.

2021-11-07-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文几何不等式 P106 习题04）

在中,、的平分线分别与对边交于点、.若,证明:.

证明

如图,作交于点,作交于点.

图2

因为为的平分线,故.

又,所以,.

于是,.

同理.

故,

因此,(这里用到).

从而,.

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