剑指 Offer 14- I. 剪绳子

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

解题思路

方法一：动态规划

首先题目中给出了m,n都>1，当n<=3时，最大值是固定的n-1。

题目可以理解为将一个长度为n的数字拆成两个乘积最大的数字，这个过程可以继续向下分，直到拆出n<=3。

因此从第四个开始逐步计算到长度为n的绳子。外部循环计算长度为i的绳子所能得到的最大结果；内层循环计算多种剪法。

方法二：贪心算法

尽可能将绳子分为3段，4/(4-n%3)：

• 当 n 除以 3 的余数为 0 时（即 n % 3 == 0），表达式中的 (4 - n % 3) 将等于 4，因此整个表达式为 4 / 4，结果为 1。

• 当 n 除以 3 的余数为 2 时（即 n % 3 == 2），表达式中的 (4 - n % 3) 将等于 2，因此整个表达式为 4 / 2，结果为 2。

因此n<=3?n-1:pow(3,n/3)*4/(4-n%3)

代码

动态规划算法

int Solution::cuttingRope(int n)
{
    if (n <= 3) {
        return n - 1;
    }

    std::vector dp(n + 1, 0);
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3;

    for (int i = 4; i <= n; ++i) {
        int maxProduct = 0;
        for (int j = 2; j <= i / 2; ++j) {
            int product = dp[j] * dp[i - j];
            maxProduct = std::max(maxProduct, product);
        }
        dp[i] = maxProduct;
    }

    return dp[n];
}

贪心算法

int Solution::cuttingRope(int n)
{
    return n <= 3? n - 1 : pow(3, n / 3) * 4 / (4 - n % 3);
}