基础算法--离散化

基本介绍

离散化：把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。

适用范围：数组中元素值域很大，但个数不是很多。
比如将a[]=[1,3,100,2000,500000]映射到[0,1,2,3,4]这个过程就叫离散化。

离散化常与差分、前缀和、数组数组、线段树结合考查。

离散化实现方式：

手写离散化

例如：对于序列 [105，35，35，79，-7]，排序并去重后变为 [-7，35，79，105]，由此就得到了对应关系 -7->1, 35->2, 79->3, 105->4。

基本的步骤可以分为：

1. 用一个辅助的数组把你要离散的所有数据存下来。
2. 排序，排序是为了后面的二分。
3. 去重，因为我们要保证相同的元素离散化后数字相同。
4. 索引，再用二分把离散化后的数字放回原数组。

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // +1:映射到1, 2, ...n（不加的话就是0~n-1）
}

【知识点】

对于随机给定的一个数组，去除其中所包含的重复元素可以通过调用C++的库函数unique来实现。

但有一点需要注意的是，unique仅是对相邻的重复元素进行去重，若要对随机给定的数组进行去重则需要先对数组进行排序，使得重复元素相邻.

#include
#include
using namespace std;
int main()
{
	int n = 10;
	int a[10] = {4, 7, 4, 7, 2, 4, 6, 7, 4, 2};
	sort(a, a + n);
	int m = unique(a, a + n) - a;// 从0开始
	
	cout << "数组新的长度 " << m << endl;
	
	cout << "新数组 ";
	for(int i = 0;i < m; ++i)
	{
		cout << ' ' << a[i];
	}
	return 0;
}

数组新的长度 4
新数组 2 4 6 7

注意事项：

1、去重并不是把数组中的元素删去，而是重复的部分元素在数组末尾，去重之后数组的大小要减一。
2、二分的时候，注意二分的区间范围，一定是离散化后的区间。
3、如果需要多个数组同时离散化，那就把这些数组中的数都用数组存下来。

map映射

（由于不需要排序和去重等操作，会比第一种好写，且代码量会少很多）：可以用 map（每次在map中查询一下这个值是否存在，如果存在则返回对应的值，否则对应另一个值）或 hash表（即unordered_map或手写hash表，运用方式和map相同）。

map与unordered_map的区别

• 对于map的底层原理，是通过红黑树（一种非严格意义上的平衡二叉树）来实现的，因此map内部所有的数据都是有序的（默认按key进行升序排序），map的查询、插入、删除操作的时间复杂度都是O(logn)。
• unordered_map和map类似，都是存储的key-value的值，可以通过key快速索引到value。不同的是unordered_map不会根据key的大小进行排序，存储时是根据key的hash值判断元素是否相同，即unordered_map内部元素是无序的。unordered_map的底层是一个防冗余的哈希表（开链法避免地址冲突）。

巩固练习

电影
【题目链接】

步骤：

1、用 alls数组收集所有语言。
2、对 alls数组排序、去重。
3、find 函数用于把原始的稀疏编号转变为稠密编号。
4、ans 数组记录每种语言的科学家数。即这门语言有多少科学家会。
5、遍历所有电影，以每部电影的语音语言为条件，在ans数组中找最大值，若有多个相同的最大值，就找字幕语言最多的。

【代码实现】

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int a[N], b[N], c[N];
int ans[N * 3];//3*N是因为语言的来源有3个地方，假设都不相同，则有3*N种语言
vector<int> alls;
int n, m;

int find(int x)
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r) 
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )//保存科学家会的语言
    {
        cin >> a[i];
        alls.push_back(a[i]);
    }
    
    cin >> m;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        cin >> b[i];
        alls.push_back(b[i]);
    }
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        cin >> c[i];
        alls.push_back(c[i]);
    }
    // 排序 + 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    //a[i]中保存原始的稀疏编号，用find转变成稠密编号，并用ans数组记录每种语言出现的次数。
    for(int i = 0; i < n; i ++) ans[find(a[i])]++;
    
    //遍历所有电影，按要求找到最多科学家会的电影
    int ans0 = 0, ans1 = 0, ans2 = 0;
    //ans0保存最终结果，ans1和ans2为中间结果
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        //会第i个电影音频的科学家数；会第i个电影字幕的科学家数
        int anx = ans[find(b[i])];
        int any = ans[find(c[i])];
        // 前者判断条件表示有电影刷新
        // 后者判断条件表示相同电影条件下的字幕刷新
        if(anx > ans1 || (anx == ans1 && any > ans2))
        {
            ans0 = i + 1;// 我们下标从0开始的
            ans1 = anx;
            ans2 = any;
        }
        
    }
    
    if(ans0 == 0) puts("1");// 如果所有电影的音频和字幕科学家都不懂，随便选一个电影
    else cout << ans0;
    

    return 0;
}

区间和

思路：值域很大用离散化压缩优化！


【代码实现】

#include 
#include 
#include 

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 3e5 + 10;
int a[N], s[N];
vector<PII> add, query; // 方便我们离散化还原数值，和区间查询操作
vector<int> alls; // 存储数值进行离散化操作
int n, m;

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{    
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});
        
        alls.push_back(x);
    }
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});
        
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    
    // 排序 + 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    // 数值还原映射到a[]数组
    for(auto item : add)
    {
        int x = find(item.x);// 找到映射后的位置
        a[x] += item.y;// 插入数值
    }
    
    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    // 处理区间和
    for(auto item : query)
    {
        // 找到离散化后对应的位置
        int l = find(item.x), r = find(item.y);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl; // 前缀和求区间和
    }
    
    return 0;
}