29.直径与重心

一、树的直径

1.定义

树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的直径。

简单路径：一条路径上没有重复的边即为简单路径。

显然，一棵树可能会有多条直径，它们的长度相等。通常我们有两种求解树的直径的方式，分别是两次 DFS 或者树形 DP 的方法，都可以在 $O(n)$ 的时间求出树的直径。下面分别进行介绍。

2.两次 DFS 求树的直径

（1）算法流程

首先从任意节点 $root$ 开始进行第一次 DFS，到达距离其最远的节点，记为 $start$，然后再从 $start$ 开始做第二次 DFS，到达距离 $start$ 最远的节点，记为 $start$，则 $\delta (start,fina)$ 即为树的直径。

显然，如果第一次 DFS 到达的节点 $start$ 是直径的一端，那么第二次 DFS 到达的节点 $fina$ 一定是直径的一端。我们只需证明在任意情况下，$start$ 必为直径的一端。

定理：在一棵树上，从任意节点 $root$ 开始进行一次 DFS，到达的距离其最远的节点 $start$ 必为直径的一端。

（2）证明

使用反证法。记出发节点为 $root$。设真实的直径是 $\delta (start,fina)$，而从 $root$ 进行的第一次 $DFS$ 到达的距离其最远的节点 $x$ 不为 $start$ 或 $fina$。共分三种情况：

• 若 $root$ 在 $\delta (start,fina)$ 上 ：

有 $\delta (root,x)>\delta (root,fina)\to \delta (start,x)>\delta (start,fina)$ ，与 $\delta (start,fina)$ 为树上任意两节点之间最长的简单路径矛盾。

• 若 $root$ 不在$\delta (start,fina)$上，且与存在重合路径为 $\delta (a,b)$：

有$\delta (root,x)>\delta (root,fina)\to \delta (a,x)>\delta (a,fina)\to \delta (start,x)>\delta (start,fina)$ ，与 $\delta (start,fina)$ 为树上任意两节点之间最长的简单路径矛盾。

• 若 $root$ 不在$\delta (start,fina)$上，且不存在重合路径，$\delta (root,x)$ 上有一点 $x$ 与 $\delta (start,fina)$上有一点 $x^{\prime }$ 直接相连：

有 $\delta (root,x)>\delta (root,fina)⟹\delta (x^{\prime },x)>\delta (x^{\prime },fina)⟹\delta (x,fina)>\delta (x,fina)⟹\delta (start,x)>\delta (start,fina)$，与 $\delta (start,fina)$ 为树上任意两节点之间最长的简单路径矛盾。

综上，三种情况下假设均会产生矛盾，故原定理得证。

（3）模板代码

void dfs(ll u,ll pre)
{
	if(d[u]>d[pos])
		pos=u;
	for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)
	{
		ll v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(v!=pre)
		{
			d[v]=d[u]+w;
			dfs(v,u);
		}
	}
}
int main()
{
	memset(p,-1,sizeof(p));
    scanf("%lld",&n);
    for(ll i=1;i<n;i++)
	{
    	ll u,v,w;
    	scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
    	insert(u,v,w);
    	insert(v,u,w);
	}
	dfs(1,0);
	memset(d,0,sizeof(d));
	start=pos;pos=0;
	dfs(start,0);
	fina=pos;
	printf("%lld\n",d[fina]);
    
	return 0;
}

（4）缺陷

从证明不难看出，这个方法无法处理负边权的情况。如果出现负边权，则无法采用两次 $DFS$ 的方法，而只能采用下面所讲到的树形 $DP$ 的方法。

2.树形 $DP$

（1）算法流程

我们记录当 $1$ 为树的根时，每个节点作为子树的根向下，所能延伸的最长路径长度 $d_1$与次长路径（与最长路径无公共边）长度 $d_2$ ，那么直径就是对于每一个点，该点 $d_1+d_2$ 能取到的值中的最大值。

树形 $DP$ 可以在存在负权边的情况下求解出树的直径。

（2）模板代码

void dfs(ll u,ll pre)
{
	for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)
	{
		ll v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(v!=pre)
		{
			dfs(v,u);
			ll temp=d1[v]+w;
			if(temp>d1[u])
			{
				d2[u]=d1[u];
				d1[u]=temp;
			}
			else if(temp>d2[u])
				d2[u]=temp;
		}
	}
	d=max(d,d1[u]+d2[u]);
}
int main()
{
	freopen("test.txt","r",stdin);
	memset(p,-1,sizeof(p));
    ll u,v,w;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w))
	{
    	insert(u,v,w);
    	insert(v,u,w);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%lld\n",d);
    
	return 0;
}

二、树的重心

1.定义

对于树上的每一个点，计算其所有子树中最大的子树节点数，这个值最小的点就是这棵树的重心。

子树：指无根树的子树，即包括向上的那棵子树，并且不包括整棵树自身。

2.性质

• 树的重心如果不唯一，则至多有两个，且这两个重心相邻。
• 以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。
• 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。
• 把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。
• 在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

3.算法流程

在 $DFS$ 中计算每个子树的大小，记录向下的子树的最大大小，利用总点数 - 当前子树的大小得到向上的子树的大小，然后就可以依据定义找到重心了。

4.模板代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include  
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=50010;
struct node
{
    ll v;
    ll next;
}e[2*maxn];
ll n,t=0,p[maxn];
ll minnode=-1,Min=1e18;
void insert(ll u,ll v)
{
    e[t].v=v;
    e[t].next=p[u];
    p[u]=t++;
}
ll dfs(ll u,ll pre)
{
    ll sz=0,Max=0;
    for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
    	ll v=e[i].v;
        if(v!=pre)
        {
            ll son=dfs(v,u);
            sz+=son;
            Max=max(Max,son);
        }
    }
    sz++;
    Max=max(Max,n-sz);
    if(Max<Min || (Max==Min && u<minnode))
    {
        Min=Max;
        minnode=u;
    }
    return sz;
}
ll d[maxn],sum=0;
void getans(ll u,ll pre)
{
    for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
    	ll v=e[i].v;
        if(v!=pre)
        {
        	d[v]=d[u]+1;
        	sum+=d[v];
            getans(v,u);
        }
    }
}
int main()
{
    memset(p,-1,sizeof(p));
    scanf("%lld",&n);
    for(ll i=1;i<=n-1;i++)
    {
        ll a,b;
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        insert(a,b);
        insert(b,a);
    }
    ll temp=dfs(1,0);
    d[minnode]=0;
    getans(minnode,0);
    printf("%lld %lld",minnode,sum);
    
    return 0;
}

三、作业

POJ 2631

P1395 会议