树的直径与重心

树的直径

概念

树的直径，指树上最长的不重复经过同一个点的路径。

算法

方法：先从任意一点$P$出发，找离它最远的点$Q$，再从点$Q$出发，找离它最远的点$W$，$W$到$Q$的距离就是的直径

具体实现可以使用两次$dfs$。

算法证明（反证法）

模板

#include 
using namespace std;
const int maxn = 1e5+99;

struct Edge
{
    int to, next, w;
} e[maxn];
int n, m, t, p, ans;
int d[maxn], head[maxn], vis[maxn];

void add(int x, int y, int z)     //建图
{
    e[++t].next = head[x];
    e[t].to = y;
    e[t].w = z;
	head[x] = t;
}

void dfs(int x)    //dfs搜索
{
    if (ans < d[x])
    {
        ans = d[x];
        p = x;
    }
    vis[x]=1;
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].next)
    {
        int j = e[i].to;
        if(vis[j])continue;
        d[j] = d[x] + e[i].w;
		dfs(j);
    }
}
void find(int x)
{
    ans = 0;
    memset(vis,0,sizeof vis);
    d[x] = 0;
    dfs(x);
}
int main()
{
    int x, y, z;
    int startt;
    while (scanf("%d %d %d", &x, &y, &z) != EOF) //注意输入
    {
        add(x, y, z);
        add(y, x, z);
        n = max(max(x, y), n);
    }
    find(n);   //也可以随便取一个点
    find(p);
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

树的重心

定义

树的重心定义为树的某个节点，当去掉该节点后，树的各个连通分量中，节点数最多的连通

分量其节点数达到最小值。

思路

设p[i]为去掉i点与它相连的边之后，图中所存在的子树中的节点数最大的值。

将p数组比较，最小的就是树的重心。

模板

#include 
using namespace std;
const int N = 1e6 + 50;
int n, siz[N], Max[N], ans, cnt;
vector<int> d[N];
inline void dp(int r, int f)
{
    siz[r] = 1;
    for (int i = 0; i < d[r].size(); i++)
    {
        int Son = d[r][i];
        if (Son == f)
            continue;
        dp(Son, r);
        siz[r] += siz[Son];
        Max[r] = max(Max[r], siz[Son]);
    }
    Max[r] = max(Max[r], n - siz[r]);
    if (Max[r] < Max[ans])
        ans = r;
    if (Max[r] == Max[ans] && r < ans)
        ans = r;
}
signed main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        memset(Max, 0, sizeof Max);
        memset(siz, 0, sizeof siz);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            d[i].clear();
        ans = 0;
        cnt = 0;
        Max[0] = 0x3f3f3f3f;
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            d[x].push_back(y);
            d[y].push_back(x);
        }
        dp(1, 0);
        printf("%d %d\n", ans, Max[ans]);
    }
}