代码随想录算法训练营第42天 | 动态规划 part04 ● 背包问题二维● 背包问题&滚动数组 一维 ● 416. 分割等和子集

# 二维dp数组，01背包 

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2. 

gpt 解决我的困惑 

 

3. 

 另外：

当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

所以初始化总共有两部分（第一列，第一行）

其他格子值无所谓，反正每个格子是通过左上得出来

4. 遍历顺序 也很重要。会是有的题目的难点。

本题两层for loop 物品套背包容量或者背包容量套物品都可以，因为都是往右下走就行了

随想录写的是一个从0开始一个从1开始，但是我觉得 i j 都从1开始就行

5. 举例推导dp数组

在格子里自己推导一遍看看对不对

测试代码（用随想录的按自己偏好修改了一点）

void test_2d_bag_problem1(vector &weight, vector &value, int &bagweight) {
    

    // 二维数组+初始化1
    vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));

    // 初始化2
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 1; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    test_2d_bag_problem1(weight,value,bagweight);
}

# 一维滚动dp数组，01背包 

 依然是两层for loop， ij都要有，但是只有一层数组了

! 一维数组遍历顺序只能物品（外层）套背包容量，因为我们必须一行行算出结果后下一行继续用

! 一维数组遍历顺序 背包容量 只能 倒序，因为要保证每个物品只用一次，具体理解：

二维每次更新要看斜上方一个值（还是原来的没被覆盖），一维每次更新对应的只能看同行前面某个值，但是如果从前往后已经被这一行的一种新的情况覆盖了。但是如果从后往前的话， 用的dp[j - weight[i]]还是之前那行的

void test_1d_bag_problem1(vector &weight, vector &value, int &bagweight) {

    // 二维数组+初始化1
    vector dp(bagweight + 1, 0);

    // 初始化2
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[j] = value[0];
    }

    
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagweight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    //for(int j = 1; j <= bagweight; j++) { //if (j >= weight[i])
    //原来是这样的，但是现在因为倒过来，不需要了，只用决定终止的点是weight[i]就行

    cout << dp[bagweight] << endl;
}

int main() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    test_1d_bag_problem1(weight,value,bagweight);
}

面试的问法：

#416. 分割等和子集 

自己没想出来（快想出来了，j的值已经确定了是从0，1，逐渐到sum)

随想录思路：

1. 需要一个subset和是sum/2 （我居然没想出来这个），我一直在想两个subset之和相减为0

背包的体积为sum / 2，j 就是 从 0，1 逐渐到sum 

2. 背包中每一个元素是不可重复放入。（01背包）

3. 关键："每一个元素的数值既是重量，也是价值” 作为重量的话，是用来限制不能超过sum/2 ，做为价值是我们希望他的和尽可能大，以至于到达sum/2。

4. 关键：背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。

不能装满的情况也是有的：比如 1 5 11 5 ，这个list ，当 j =7 时（因为我们要一直连续过去，所以才会出现这个值）最多1+5只能6，所以就是不能装满

 求和也可以用库函数：int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);

bool canPartition(vector& nums) {
        int sum = 0;
        for (int &ele:nums) sum+=ele;
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);

        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        vector dp(target+1, 0);

        for(int j=nums[0];j<=target;j++) dp[j]=nums[0];

        // 开始 一维01背包
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { 
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }

觉得自己文章摘要总结的很好：

二维01背包：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
一维01背包：只能物品外层，j=bagweight;j>=weight[i];j-- 
416. 分割等和子集 :正好装满sum/2, nums[i] 同时是weight和value