#博弈论 #公平组合游戏（ICG） #尼姆游戏(NIM) 20.09.06

博弈论

博弈论（Game Theory):博弈论也称游戏论、对策论，
是研究相互依赖、相互影响的决策主体的理性决策行为以及这些决策的均衡结果的理论。

公平组合游戏（ICG）：
若一个游戏满足：

• 1、有两个玩家，游戏对两个玩家是公平的。
• 2、 游戏状态有限，能走的步数也有限。
• 3、两名玩家轮流行动，当一个玩家不能行动游戏结束。
• 4、游戏的局势不能区分玩家身份，像围棋这样有黑白两方的游戏不属于尼姆游戏
  则称该游戏为一个公平组合游戏。

ICG有一个特征：给定初始局势，并且指定先手玩家，如果双方都采取最优策略，那么获胜者已经确定了。
也就是说，ICG问题存在必胜策略！

尼姆游戏(NIM) 是一种两个人玩的回合制数学战略游戏。
游戏者轮流从一堆棋子中取走一个或者多个，最后不能再取的就是输家。
当指定相应数量时，一堆这样的棋子称作一个尼姆堆。

尼姆游戏属于公平组合游戏，

必胜状态和必败状态

必胜状态，先手进行某一个操作，留给后手是一个必败状态时，对于先手来说是一个必胜状态。
必败状态，先手无论如何操作，留给后手都是一个必胜状态时，对于先手来说是一个必败状态。

有一个结论 ：

• 1、当异或值为零的时候，不能进行任何操作，即走到了终点。

• 2、如果当前异或值不为零，那么就一定可以通过某种方法把异或值变为零。

• 3、如果 a₁*a₂……*a_n = 0的话，那么不管怎么拿，剩下所有数的异或值一定不是0

    也就是说，如果一开始的局面里，所有数的异或值不是0的话，先手就一定可以把异或值变成0，而后手只能把局面变成非0，先手又变成0……
    总之，先手可以一直抛给后手一个异或值为0的局面，那么后手最后就不能进行任何操作而必败了。
    那么反过来，如果一开始所有数的异或值就是0，那么先手只能一直得到一个异或值为0的局面，那么他就必败了。
  

K-Nim

一、Nim游戏

AcWing 891. Nim游戏

题目

给定n堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），
最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数n。

第二行包含n个数字，其中第 i 个数字表示第 i 堆石子的数量。

输出格式
如果先手方必胜，则输出“Yes”。

否则，输出“No”。

数据范围
1≤n≤105,
1≤每堆石子数≤109
输入样例：
2
2 3
输出样例：
Yes

答案

#include
using namespace std;

int main(){
   
    int n;
    int res = 0;
    
    scanf("%d", &n);
    while(n --){
   
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    if(res) puts("Yes");