【二分法查找】

使用二分法查找需要注意的点：

使用二分法的前提： 数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素。

二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

力扣：704. 二分查找 (标准的二分查找)

题目： 给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，nums 中的所有元素是不重复的。写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

解题思路： 标准的二分法查找解题。如下使用的是左闭右闭区间解题[left, right]

<<：二进制左移；左移一位相当于乘2； >>：二进制右移；右移一位相当于除2（不完全等同），比除法快
left + ((right - left) >> 1) 等同于(left + right)/2 ，可防止溢出

解答：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        if (target < nums[left] || target > nums[right]) {
            return -1;
        }
        while (left <= right) {
            int mindle = left + ((right - left) >> 1);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (target < nums[mindle]) {
                right = mindle - 1;
            } else if (target > nums[mindle]) {
                left = mindle + 1;
            } else {
                return mindle;
            }
        }
        return -1;
    }
}

力扣35. 搜索插入位置（需分析清楚数组中插入值都有哪几种情况）

题目： 给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。你可以假设数组中无重复元素。

示例一：
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
示例二：
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

解题思路： 要在数组中插入目标值，无非是这四种情况。

• 目标值在数组所有元素之前
• 目标值等于数组中某一个元素
• 目标值插入数组中的位置
• 目标值在数组所有元素之后

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int n = nums.size();
        int left = 0;
        int right = n - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle;
            }
        }
        // 分别处理如下四种情况
        // 目标值在数组所有元素之前  [0, -1]
        // 目标值等于数组中某一个元素  return middle;
        // 目标值插入数组中的位置 [left, right]，return  right + 1
        // 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right]， 因为是右闭区间，所以 return right + 1
        return right + 1;//在找不到的情况下，右边界处于一个偏小的状态，target就是右边界+1
    }
}

力扣69：X的平方根

题目： 给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意： 不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。0 <= x <= 231 - 1

示例 1：
输入：x = 4
输出：2
示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

解题思路： 把获取x的算术平方根，看成从0到x这个整数数组中获取x的算术平方根，这样就可以用二分法解题了。

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if(x == 0 || x == 1){
            return x;
        }

        int left = 1,right = x / 2;
        int sqrt = 0;
        while (left <= right) {
            int mindle = left + ((right - left) >> 1);
            if(mindle > x / mindle) {
                right = mindle - 1;
            } else {
                left = mindle + 1;
                sqrt = left;
            }
        }
        return sqrt - 1;
    }
}

力扣367：有效的完全平方数

题目： 给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。1 <= num <= 231 - 1

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说，它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

示例 1：
输入：num = 16
输出：true
解释：返回 true ，因为 4 * 4 = 16 且 4 是一个整数。
示例2：
输入：num = 14
输出：false
解释：返回 false ，因为 3.742 * 3.742 = 14 但 3.742不是一个整数。

解题思路： 可以把寻找num的完全平方数 转化为在一个[0-num]的正整数数组中寻找。PS：在做该题时，一开始参数类型是int，但是提交的时候有个测试用例无法通过(输入num=808201)，将类型都改为long后，代码即可提交成功

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
      long left = 0,right = num -1;
      if (num == 1) {
        return true;
      }
      while(left <= right){
        long mindle = left + ((right - left) / 2);
        if(mindle * mindle == num){
          return true;
        } else if (mindle * mindle > num){
          right = mindle - 1;
        } else {
          left = mindle + 1;
        }
      }
      return false;
    }
}

2、乘法溢出

乘法溢出是指在计算机中,两个数的乘积的结果超出了当前有效位数的范围时出现的一种现象。乘法溢出发生在有限位数表示法下，当一个数作为乘数与另一个数相乘时,可能会出现结果值超出所采用的有限位数表示法的范围。

例如,在8位有符号补码表示法中,最大的正数是127,最小的负数是-128。当其中一个数的绝对值大于127,或者一个正数乘以一个负数时,结果就可能会超出8位有符号补码表示法的范围,从而发生乘法溢出。”

数学知识：计算只包含乘法加法减法的表达式时，对表达式除余，可以对每步计算除余，结果是不变的。