UWB学习——day5

旁瓣的控制

在UWB（Ultra-Wideband，超宽带）通信系统中，对主瓣和旁瓣进行控制和优化是重要的，因为这直接影响了信号的传输质量、抗干扰性和系统性能。

旁瓣出现的原因

1. 频谱泄露，根据傅里叶变换原理，时域上的短脉冲对应频域上的宽频，更容易出现频域泄露。
2. 窗函数的设计
3. 多径传播，UWB信号容易受到多径传播的影响，这可能导致信号在传输过程中反射和散射，从而引入旁瓣。

频谱泄露的原因

FFT分析的时候，需要对信号进行截取，将采样时间很长的时域信号截断成一帧一帧长度的数据块，这个过程叫做信号截断。
信号截断分为周期性截断和非周期性截断，周期性截断是指截断后的信号仍未周期信号，而非周期性截断是指截断后的信号不再是周期信号。

周期截断

周期信号的最明显特征就是信号的初始和结束时刻的幅值相等。假设采样时间很长的信号为单频正弦波（周期信号），取一帧的时间长度$T$等于原始信号周期的长度，那么截断后的信号仍为周期信号，如下图所示。

将这个截断后的信号进行再重构，可以得到原始的正弦波。

对截断的信号做FFT分析，得到的频谱。

由图中可以看到。得到的频率成分为原始信号的真实频率，并且幅值与原始信号的幅值相等（100%幅值）。
假设原始信号的频率为$f$Hz，则周期为$1/f$s。因为截取的时间长度$T$为信号周期的整数倍，假设为$k$倍，即：
$T=k/f$
而频率分辨率为$1/T$，即$$\Delta f=1/T=f/k$$
因而信号的频率成分$$f=k\ast \Delta f$$
即信号的频率成分为频率分辨率$\Delta f$的整数倍，也就是说频谱图中有一条谱线与信号的频率成分相同，这也就是所谓的信号“压谱线”。

非周期截断

倘若信号截断的长度不为原始正弦信号周期的整数倍，那么，截断后的信号则不为周期信号，哪怕原始信号是周期信号。并且在现实世界中，我们进行FFT分析时，绝大多数情况都是非周期截断。
对之前的正弦信号进行非周期截断，如下图所示。截断后的信号起始时刻和结束时刻的幅值明显不等，将这个信号再进行重构，在连接处信号的幅值不连续，出现跳跃，如图中黑色圆圈区域所示。

对截断后的信号进行FFT分析，得到的频谱如下图所示。这时的FFT频谱已远远不是我们预期的那种单条的离散谱线了。对比可以看出，此时频谱在整个频带上发生了“拖尾”现象。峰值处的频率与原始信号的频率相近，但并不等。另一方面，峰值处的幅值已不再等于原始信号的幅值，为原始信号的64%（矩形窗的影响）。而幅值的其他部分（36%幅值）则分布在整个频带的其他谱线上。

由于非周期截断的时间长度不等于信号周期数的整数倍，因此，信号的频率成分$f\ne k\ast \Delta f$，也就是说，在频谱图中，没有一条谱线是和信号的频率成分完全相同的。

窗函数

加窗的原因

由于每次FFT变换只能对有限长度的时域数据进行变换，因此需要对时域信号进行信号截断，而每次截断，都会存在频谱泄露，为了减少泄露的影响，我们采用窗函数，也就是加权函数。一言以蔽之，窗主要是为了使时域信号似乎更好地满足FFT处理的周期性要求，减少泄漏。
如下图所示，若周期阶段，则FFT频谱为单一谱线。若为非周期截断，则频谱出现拖尾，如图中部所示，可以看到泄露很严重。给信号施加一个窗函数（如图中上部红色曲线所示），原始截断后的信号与这个窗函数相乘之后得到的信号为上面右侧的信号。可以看出，此时，信号的起始时刻和结束时刻的幅值都为0。相当于，在加窗后的信号中，信号为周期信号，且只有一个周期，对其进行FFT分析，得到的频谱如下部右侧所示，相较于之前的频频，泄露已经改善，但没有完全消除。因此，窗函数只能减少泄漏，不能消除泄漏。

窗函数的定义

信号截断时，只能截断一部分，就好像一个“窗”（确切地说更像个“框”）去作这样的截取。如下图所示，原始信号为周期信号，时间很长，截取的时候，用红色的“窗”去截取，得到的信号如图中下部所示。

当然这个“窗"是一个单位权重的加权函数，成为”矩形窗“。这个”窗“外的信号是看不到的。因此，这就是为什么这样的加权函数被称为窗函数的真正原因。这样称呼，更为直观形象。
上图中用于截取信号的时域截取函数（就是上图中红色的那个“窗”）就被称为窗函数，它是一种计权函数，不同窗函数计权是不一样的。也就是说，可以用不同的截取函数（窗函数）来做信号截取。到底用何种窗函数基于信号类型和分析目的。常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、平顶窗、指数窗等。

窗函数的时频域特征

加窗实质是用窗函数与原始的时域信号作乘积的过程，使得相乘后的信号似乎能更好的满足傅里叶变换的周期性要求。如下图所示，原始的信号是不满足FFT变换的周期性要求的，变换后存在泄露，施加窗函数后，会在一定程度减少泄露。

原始周期信号

窗函数

=

加窗后的信号
不同的时间窗，时域和频域特征是不相同的。常见的窗函数表达形式如下表：

窗函数	时域表达式
矩形窗	$w(t)=1$
汉宁窗	$w(t)=\frac{1}{2}(1-\cos \frac{2\pi t}{T})$
平顶窗	$$\begin{gathered} w(t)=(1-1.93\cos (2\pi t/T)+1.29\cos (4\pi t/T)- \\ 0.388\cos (6\pi t/T)+0.0322\cos (8\pi t/T))/4.634 \end{gathered}$$

矩形窗、汉宁窗和平顶窗的时域形状和频域特征如下图所示，可以看出，窗函数不同，时域和频域都是不同的。

为了减少泄漏，可采用不同的窗函数来进行信号截取，因而，泄漏与窗函数的频谱特征相关的。窗函数的典型频谱特征如下图所示：

各种窗函数频谱特征的主要差别在于：主瓣宽度（也称为有效噪声带宽，ENBW）、幅值失真度、最高旁瓣高度和旁瓣衰减速率等参数。加窗的主要想法是用比较光滑的窗函数代替截取信号样本的矩形窗函数，也就是对截断后的时域信号进行特定的不等计权，使被截断后的时域波形两端突变变得平滑些，以此压低谱窗的旁瓣。因为旁瓣泄露量最大，旁瓣小了泄露也相应减少了。不同的窗函数具有不同的频谱特征，下表列出了一些常用窗函数的特征。

窗类型	主瓣 ENBW	主瓣 3dB带宽	幅值误差/dB	最高旁瓣/dB	旁瓣衰减/dB 每10个倍频程/dB
矩形窗	1.0	0.89	-3.92 (36.3%)	-13.3	-20
汉宁窗	1.50	1.44	-1.42 (15.1%)	-31.5	-60
哈明窗	1.36	1.30	-1.78 (20.6%)	-43.2	-20
平顶窗	3.77	3.72	-0.01 (0.1%)	-93.6	0
凯塞窗	1.80	1.71	-1.02 (11.1%)	-66.6	-20
布莱克曼窗	2.0	1.68	-1.10 (12.5%)	-92.2	-20

主瓣宽度主要影响信号能量分布和频率分辨能力。频率的实际分辨能力为有效噪声带宽乘以频率分辨率，因此，主瓣越宽，有效噪声带宽越宽，在频率分辨率相同的情况下，频率的分辨能力越差。如下图所示，红色为平顶窗（3.77∆f），黑色为汉宁窗（1.5∆f），蓝色为信号频率，可以明显地看出，主瓣越窄，频率分辨越准确。对于窗函数宽的主瓣而言，如果有邻近的小峰值频率，则越难辨别出来。

旁瓣高低及其衰减率影响能量泄漏程度（频谱拖尾效应）。旁瓣越高，说明能量泄漏越严重，衰减越慢，频谱拖尾越严重。对50.5Hz（频率分辨率为1Hz）的信号分别施加矩形窗（红色）、汉宁窗（绿色）和平顶窗（蓝色），用对数显示幅值，加窗后的结果如下图所示。从图中可以看出，矩形窗的频谱拖尾更严重。

相对而言，如果旁瓣能量较小，高度趋于零，使得信号能量相对集中于主瓣，则较为接近真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。

加窗函数的原则

加窗函数时，应使窗函数频谱的主瓣宽度应尽量窄，以获得高的频率分辨能力；旁瓣衰减应尽量大，以减少频谱拖尾，但通常都不能同时满足这两个要求。各种窗的差别主要在于集中于主瓣的能量和分散在所有旁瓣的能量之比。

窗的选择取决于分析的目标和被分析信号的类型。一般说，有效噪声频带越宽，频率分辨能力越差，越难于分清有相同幅值的邻近频率。选择性（即分辨出强分量频率邻近的弱分量的能力）的提高与旁瓣的衰减率有关。通常，有效噪声带宽窄的窗，其旁瓣的衰减率较低，因此窗的选择是在二者中取折衷。
因而，窗函数的选择一般原则如下：

1. 如果截断的信号仍为周期信号，则不存在泄漏，无须加窗，相当于加矩形窗。

2. 如果信号是随机信号或者未知信号，或者有多个频率分量，测试关注的是频率点而非能量大小，建议选择汉宁窗，像LMS Test.Lab中默认加的就是汉宁窗。

3. 对于校准目的，则要求幅值精确，平顶窗是个不错的选择。

4. 如果同时要求幅值精度和频率精度，可选择凯塞窗。

5. 如果检测两个频率相近、幅值不同的信号，建议用布莱克曼窗。

6. 锤击法试验力信号加力窗，响应可加指数窗。

窗函数带来的影响

需要进行幅值和能量修正