图像拉普拉斯算子原理--Apple的学习笔记

最近开始复习图像算法。1年前关于拉普拉斯算子一定是学过的。但是记不得了，当时应该是很快看完，死记硬背的，那么久没用，所以忘记了。那么作为第二轮学习，我需要做的是自己推导公式，并且能将数学转换到图像处理的原因弄清楚，这样才能深刻的记住原理，今后才能灵活应用。

一，图像拉普拉斯算子的来源

1. 所谓算子就是卷积核

图像中的卷积的应用可以理解为图像区域中的权重和。这个是基础就不说了。

2. 拉普拉斯3x3算子

0	1	0
1	-4	1
0	1	0

对应的3x3图像处理区域如下

x-1,y+1	x,y+1	x+1,y+1
x-1,y	x,y	x+1,y
x-1,y-1	x,y-1	x+1,y-1

3. 算子来源

它是x和y方向的向量和，是通过二元参数的二阶偏微分和和得来的。

拉普拉斯算子和图像区域的卷积正是上述公式。

4. 公式推导

导数公式知道，二阶偏导数公式也知道，为什么是这样的形式呢？原因它不是连续函数求导，而是离散点求导。

由于图像中每一点的最小单位为1个像素。所以对一元函数的导数可以写为
也可以写为，图像处理一般用后者展开。

那么一阶导数会求了，一元函数的二阶导数呢？就是一阶导数的导数
，展开如下
，整理得

也可以这样展开
展开如下
，整理得

最后，针对二元函数进行扩展就是
，对x求二阶偏导，全部添加非变量y即可。
同理

那么

至此数学公式推导完成。

二，图像拉普拉斯算子的应用

1. 应用公式

2. 图像中对应公式的含义理解

首先处理的是像素x和y的灰度，从公式可以看出是一种变换，变换的内容为原来的灰度值加上c倍的二阶偏导数的和。
接着把重点放到二阶偏导数的和代表x和y方向的偏导数的和。而导数是研究一种变化率，而偏导数是研究导数的变换率。若是边缘的话，变化率的值一定是很高的，代表相邻像素的差值。而二阶偏导数是一阶偏导数的导数。而拉普拉斯算子其实应用于图像锐化（就是突出边缘的意思）看下图，二阶函数处理后变成了边缘左边为1，边缘右边为-1，这样的情况下与原像素叠加后，边缘值左右两边变换差值更加明显，这样就可以突出边缘效果了。至少我目前是这么理解的

图像中的一阶和二阶导数.png