【学习笔记】CF1540C Converging Array

大佬 场切这道题，而我还只能看题解

发现操作等价于，如果$a_{p+1}-a_p<l_p$，那么令$a_p=\frac{a_p+a_{p+1}-l_i}{2},a_{p+1}=\frac{a_p+a_{p+1}+l_i}{2}$。画图可以更好的发现这一点。

发现操作后所有数的和不变，并且$a_{p+1}$和$a_p$的差恰好为$l_p$

然后就是神来之笔了：考虑对于$>i$的位置都减去$l_i$，这样操作就变成了$a_p=a_{p+1}=\frac{a_p+a_{p+1}}{2}$。为什么这样是对的？因为这样当操作$p$的时候就合上了，而当操作$>p$的位置时两个数之间的差不会改变，而是整体偏移一个值。可以证明，这样转化 不会改变$a_1$的值

然后，我们并不关心操作的过程，而只关心最后操作的结果。类似的，我们并不关心是否存在这种策略，而只关心能否达成

$\text{remark}$ 我们只关心最终$a_1$的值，其他多余的性质不用去分析

结论：记$x$为前缀平均值的最小值，那么最终$a_1$值就等于$x$

证明：注意到每次操作只会让前缀平均值变小。考虑最小值的位置，如果可以分成若干个值相同的段，那么这些段的值一定是递增的，可以很容易的导出矛盾。

那么，我们将每个$a_i$减去$x$，问题就转化为了求任意前缀$\ge 0$的序列数目

前缀和优化之，单次$DP$复杂度$O(n^3)$

发现有用的$x$不会超过$\max (r_i-l_i)$个，因此剪枝即可。

复杂度$O(n^2{d}^2)$。

$\text{remark}$ 感觉考场上做的比较糟糕的原因还是在于 没有认真去分析题目想让你干啥 。。。

#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=205;
const int mod=1e9+7;
int n,m,b[N],c[N],l[N],r[N],sl[N],sr[N];
ll res[200005],mul;
ll now[N*N],nxt[N*N];
ll solve(int x){
    for(int i=1;i<=n;i++)sl[i]=sl[i-1]+l[i]-x,sr[i]=sr[i-1]+r[i]-x;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(sr[i]<0)return 0;
    }int ok=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(sl[i]<0)ok=0;
    }if(ok)return mul;
    now[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        l[i]-=x,r[i]-=x;
        for(int j=0;j<=sr[i]-sl[i];j++){
            int L=max({0,sl[i-1],j+sl[i]-r[i]}),R=min(j+sl[i]-l[i],sr[i-1]);
            if(L>R||j+sl[i]<0)nxt[j]=0;
            else if(L==sl[i-1])nxt[j]=now[R-sl[i-1]];
            else nxt[j]=(now[R-sl[i-1]]-now[L-sl[i-1]-1])%mod;
        }for(int j=0;j<=sr[i]-sl[i];j++){
            now[j]=nxt[j];if(j)now[j]=(now[j]+now[j-1])%mod;
        }l[i]+=x,r[i]+=x;
    }
    return (now[sr[n]-sl[n]]+mod)%mod;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>r[i],l[i]=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        cin>>b[i];
        for(int j=i+1;j<=n;j++)l[j]-=b[i],r[j]-=b[i];
    }mul=1;for(int i=1;i<=n;i++)mul=mul*(r[i]-l[i]+1)%mod;
    memset(res,-1,sizeof res);
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;cin>>x;
        if(~res[x+100000]){
            cout<<res[x+100000]<<"\n";
        }
        else{
            cout<<(res[x+100000]=solve(x))<<"\n";
        }
    }
}