质数判断|质数筛法

质数

概述

质数(prime number，又称素数)：

指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。

否则称为合数（又称合成数）。

注：_{1既不是质数也不是合数，2是最小的质数且是唯一的偶质数}

质数判断

试除法 $O(\sqrt{n})$

思想：根据定义，可以从2~n-1依次试除，判断n是否有约数（若有则n不是质数）

优化：假设 $d$ 可以整除 $n$，那么它们的商 $n/d$ 也能整除 $n$。假设两者的关系是 $d<=n/d$，即 $d^2<=n$ ，那么 $d<=\sqrt{n}$。所以每次判断只需要判断到 $\sqrt{n}$ 即可。

时间复杂度：优化后时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$

bool isprime(int n) 
{
	for (int i = 2; i <= n / i; i++)//也有的会写为i*i<=n，不过存在溢出风险，使其变为负数，影响结果判断。最好写为i<=n/i，不存在溢出风险
		if (n % i == 0) return false;
	return true;
}

质数筛法

朴素筛法 $O(n\sqrt{n})$

背景：质数相关的问题，如果用传统的遍历法的话，一次只能求解一个（$O(\sqrt{n})$）

过程： 试除法将素数保存下来即可

int prime[N], cnt;
for (int i = 2; i <= 100; i++)
    if (isprime(i))prime[++cnt] = i;

埃氏筛法 $O(nlogn)$

思想：从2开始任何整数 x 的倍数都不是质数。

过程：初始时，先假设所有数都是质数，从2开始枚举，并标记每个数的倍数为合数，若枚举到一个数未被标记，说明该数就是质数。

时间复杂度：$O(nlogn)$

int prime[N], cnt;
bool st[N];
void GetPrimes(int n) 
{
    memset(st, true, sizeof(st));
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
    {
        if (st[i]) prime[++cnt] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = false;//筛掉该数的倍数
    }
}

埃氏筛相关：

1、埃拉托斯特尼选筛法，简称埃氏筛，也有人称素数筛。

2、算术基本定理 (又称唯一分解定理），任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。也就是说，合数一定是某个质数的倍数。

优化：埃氏筛法是不管是合数还是质数都直接筛，会有许多重复的操作。根据算术基本定理，只筛掉质数的倍数。

时间复杂度：$O(nloglogn)$ 该算法实现简单，效率已经非常接近与线性（n <= 10⁶）

int prime[N], cnt;
bool st[N];
void GetPrimes(int n) 
{
    memset(st, true, sizeof(st));
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!st[i])continue;//合数
        prime[++cnt] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = false;//筛掉质数倍数
        //遍历范围内的i的倍数 可从i*i开始，可以减少重复筛选（
    }
}

线性筛法 $O(n)$

欧拉筛，也被称作线性筛

背景：埃氏筛中一些合数被重复筛选（如：6会被2和3筛选），这样会有许多重复操作

思想：在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的

时间复杂度：$O(n)$当数据规模在 10⁶ 时，线性筛法和埃式筛法效率差不多，但是当数据规模在 10⁷ 时线性筛法的效率大约是埃式筛法2倍。

int prime[N], cnt;
bool st[N];
void GetPrimes(int n)
{
	memset(st, true, sizeof(st));
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (st[i])prime[++cnt] = i;
		for (int j = 1; prime[j] <= n / i; j++)
		{
			st[prime[j] * i] = false;
			//(prime[j] * i)为要筛掉的合数
			//(prime[j] * i)的最小质因数 = min(prime[j]的最小质因数, i的最小质因数)
			//质数prime[j]的最小质因数是它本身
			//当i% prime[j] != 0时，i的最小质因数>prime[j]，所以(prime[j] * i)的最小质因数 = prime[j]
			//当i% prime[j] == 0时，i的最小质因数=prime[j]，所以(prime[j] * i)的最小质因数 = prime[j]
			if (i % prime[j] == 0)break;
			//若i% prime[j] == 0后继续枚举质数表，那么prime[j+1]>prime[j]，即prime[j+1]不是i的最小质因子
			//自然prime[j+1]不是(prime[j]*i)的最小质因子
		}
	}
}