【考研数学】概率论与梳理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布(1,二维连续型和离散型随机变量基本概念与性质)

文章目录

  • 引言
  • 一、二维随机变量及分布
    • 1.1 基本概念
    • 1.2 联合分布函数的性质
  • 二、二维离散型随机变量及分布
  • 三、多维连续型随机变量及分布
    • 3.1 基本概念
    • 3.2 二维连续型随机变量的性质
  • 写在最后


引言

隔了好长时间没看概率论了,上一篇文章还是 8.29 ,快一个月了。主要是想着高数做到多元微分和二重积分题目,再来看这个概率论二维的来,更好理解。不过没想到内容太多了,到现在也只到二元微分的进度。


一、二维随机变量及分布

1.1 基本概念

定义 1 —— 二维随机变量。设 X , Y X,Y X,Y 为定义于同一样本空间上的两个随机变量,称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量。同理,也有 n n n 维随机变量的定义。

定义 2 —— 二维随机变量的分布函数。

(1)设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量,对任意的 x , y ∈ R x,y\in R x,yR ,称 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\} F(x,y)=P{Xx,Yy} 为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合分布函数。

(2)称函数 F X ( x ) = P { X ≤ x } , F Y ( y ) = P { Y ≤ y } F_X(x)=P\{X\leq x\},F_Y(y)=P\{Y\leq y\} FX(x)=P{Xx},FY(y)=P{Yy} 分别为随机变量 X , Y X,Y X,Y 的边缘分布函数。同理,有 n n n 维随机变量的联合分布函数以及边缘分布函数。

1.2 联合分布函数的性质

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量, F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为其联合分布函数,有如下性质:

(1) 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 ; 0 \leq F(x,y) \leq 1; 0F(x,y)1;

(2) F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) x , y x,y x,y 都是单调不减函数;

(3) F ( x ) F(x) F(x) 关于 x , y x,y x,y 都是右连续;

(4) F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 = F ( − ∞ , + ∞ ) = F ( + ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1. F(-\infty,-\infty)=0=F(-\infty,+\infty)=F(+\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1. F(,)=0=F(,+)=F(+,)=0,F(+,+)=1.

其实和一维随机变量的分布函数的性质大差不差的,我也是从一维那里复制过来改了下的hhh。

以下是一些推论:

(1)设 { X ≤ x } = A , { Y ≤ y } = B \{X\leq x\}=A,\{Y\leq y\}=B {Xx}=A,{Yy}=B ,则 F ( x , y ) = P ( A B ) , F X ( x ) = P ( A ) , F Y ( y ) = P ( B ) . F(x,y)=P(AB),F_X(x)=P(A),F_Y(y)=P(B). F(x,y)=P(AB),FX(x)=P(A),FY(y)=P(B). 即联合分布函数是要取交集。

(2) F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) , F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) . F_X(x)=F(x,+\infty),F_Y(y)=F(+\infty,y). FX(x)=F(x,+),FY(y)=F(+,y). 即当一个变量限制在小于正无穷范围(这是肯定的),当然此时联合分布函数和边缘分布函数一致了。

(3)设 a 1 < a 2 , b 1 < b 2 a_1a1<a2,b1<b2 ,则

P { a 1 < X ≤ a 2 , b 1 < Y ≤ b 2 } = P { a 1 < X ≤ a 2 , Y ≤ b 2 } − P { a 1 < X ≤ a 2 , Y ≤ b 1 } = ( P { X ≤ a 2 , Y ≤ b 2 } − P { X ≤ a 1 , Y ≤ b 2 } ) − ( P { X ≤ a 2 , Y ≤ b 1 } − P { X ≤ a 1 , Y ≤ b 1 } ) = F ( a 2 , b 2 ) − F ( a 1 , b 2 ) − F ( a 2 , b 1 ) + F ( a 1 , b 1 ) . P\{a_1 < X\leq a_2,b_1 < Y \leq b_2\}=P\{a_1 < X\leq a_2,Y\leq b_2\}-P\{a_1 < X\leq a_2,Y \leq b_1\}=(P\{X \leq a_2,Y\leq b_2\}-P\{X \leq a_1,Y\leq b_2\})-(P\{X \leq a_2,Y\leq b_1\}-P\{X\leq a_1,Y\leq b_1\})=\pmb{F(a_2,b_2)-F(a_1,b_2)-F(a_2,b_1)+F(a_1,b_1)}. P{a1<Xa2,b1<Yb2}=P{a1<Xa2,Yb2}P{a1<Xa2,Yb1}=(P{Xa2,Yb2}P{Xa1,Yb2})(P{Xa2,Yb1}P{Xa1,Yb1})=F(a2,b2)F(a1,b2)F(a2,b1)+F(a1,b1).


二、二维离散型随机变量及分布

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量,若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的可能取值为有限对或可列对,称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维离散型随机变量。

设随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的可能取值为 ( x i , y j ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n ) (x_i,y_j)(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) (xi,yj)(i=1,2,,m;j=1,2,,n) ,称 P { X ≤ x i , Y ≤ y j } = p i j ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n ) , 或 P\{X\leq x_i,Y\leq y_j\}=p_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n),或 P{Xxi,Yyj}=pij(i=1,2,,m;j=1,2,,n),
【考研数学】概率论与梳理统计 —— 第三章 | 二维随机变量及其分布(1,二维连续型和离散型随机变量基本概念与性质)_第1张图片

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合分布律。其具有如下性质:

  1. p i j ≥ 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n ) ; p_{ij}\geq 0(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n); pij0(i=1,2,,m;j=1,2,,n);
  2. ∑ ∑ p i j = 1. \sum\sum p_{ij}=1. ∑∑pij=1.

由全概率公式,有 P { X = x i } = P { X = x i , y 1 } + ⋯ + P { X = x i , y n } = p i 1 + ⋯ + p i , n = p i ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ) . P\{X=x_i\}=P\{X=x_i,y_1\}+\cdots+P\{X=x_i,y_n\}=p_{i1}+\cdots+p_{i,n}=p_i(i=1,2,\cdots,m). P{X=xi}=P{X=xi,y1}++P{X=xi,yn}=pi1++pi,n=pi(i=1,2,,m). 同理,可以得到 P { Y = y i } P\{Y= y_i\} P{Y=yi} 。于是,联合分布律每一行每一列之和,即可构成两个随机变量的边缘分布律。

在这里插入图片描述

一般情况下,联合分布律和边缘分布律可以放在一张表格中:

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三、多维连续型随机变量及分布

3.1 基本概念

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量,其分布函数为 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\} F(x,y)=P{Xx,Yy} ,若存在非负可积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ,使得 F ( x , y ) = ∫ − ∞ x d u ∫ − ∞ y f ( u , v ) d v F(x,y)=\int_{-\infty}^xdu\int_{-\infty}^yf(u,v)dv F(x,y)=xduyf(u,v)dv ,称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维连续型随机变量, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合密度函数, F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为联合分布函数。

f X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y , f Y ( y ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy,f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx fX(x)=f(x,y)dy,fY(y)=f(x,y)dx 分别为随机变量 X , Y X,Y X,Y 的边缘密度函数。

F X ( x ) = ∫ − ∞ x f X ( x ) d x , F Y ( y ) = ∫ − ∞ y f Y ( y ) d y F_X(x)=\int_{-\infty}^xf_X(x)dx,F_Y(y)=\int_{-\infty}^yf_Y(y)dy FX(x)=xfX(x)dx,FY(y)=yfY(y)dy 分别为随机变量 X , Y X,Y X,Y 的边缘分布函数。

同理,以上结论可推广到 n n n 维。

3.2 二维连续型随机变量的性质

f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合密度函数,则

  1. f ( x , y ) ≥ 0 ; f(x,y)\geq 0; f(x,y)0;
  2. ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y = 1. \int_{-\infty}^\infty dx\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy=1. dxf(x,y)dy=1.

( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维连续型随机变量, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为其联合密度函数, F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为其联合分布函数。若 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 在某点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 处二阶可偏导,有 f ( x , y ) = ∂ F ∂ x ∂ y ; f(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x \partial y}; f(x,y)=xyF; 若在某点处二阶不可偏导,则 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0

二阶联合分布函数一定连续,但不一定二阶可偏导。


写在最后

果然,先去看看多元微分和多重积分,看这个就较为轻松。

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