AM@映射@函数@反函数@复合函数

abstract

• 从两个角度定义函数及相关概念
  • 直接定义
  • 引入映射这一概念,然后借助映射来定义函数
• 讨论函数的最基本内容
• 讨论复合映射和复合函数
• 讨论逆映射和反函数及其性质
• 相关的符号表示含义解释

直接定义

函数的定义

• 设两个变量$x,y$,$X$是一个非空的实数集
• 若存在一个对应规则$f$,使得对于每个$x\in X$,按照这个规则,有唯一确定的实数值$y$与之对应,则称$f$是定义在$X$上的一个函数
• $x$称为自变量,$X$称为函数$f$的定义域,
• $y$称为因变量,函数$f$在$X$对应的$y=f(x),x\in X$的函数值全体构成的集合常记为$Y$,$Y=\{y\mid y=f(x),x\in X\}$,称为函数$y=f(x),x\in X$的值域

反函数定义

• 设$y=f(x)$的定义域是$X$,值域为$Y$

• 函数$y=f(x)$的反函数定义为:若对于任意$y\in Y$,由$y=f(x)$可以确定唯一的$x\in X$,记为$x=f^{-1}(y)$或$x=\varphi (y)$

• 我们还可以借助逆映射的概念定义反函数,另见相关章节

复合函数定义

• 设函数$y=f(u),u\in D_f$,$u=g(x),x\in D_g$,$R_g=\{g(x)\mid x\in D_g\}$
• 若$R_g\cap D_f=D\ne \varnothing$,则称函数$y=f(g(x))$为复合函数,它的定义域为$D$,其中$u$称为中间变量,$x$称为自变量

基于映射定义

• 基于映射的概念,可以更加简洁地定义函数等相关概念
• 映射是一种比函数更加基础和抽象的概念,函数是映射中的一种实现

映射

• 设$X,Y$是两个非空集合,如果存在一个对应法则(简称法则)$f$,使得对$X$中每个元素$x$,按照法则$f$,在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应,那么$f$是从$X到Y$的映射,记为$f:X\to Y$
  • $f$是法则的记号
  • $X,Y$分别是被映射非空集合与映射结果非空集合

像@原像

• 在映射的定义中,$y$称为元素$x$(在映射$f$下)的像,记为$f(x)$,即$y=f(x)$
• 而元素$x$称为$y$(在映射$f$下)的一个原像

定义域@值域

• 集合$X$称为映射$f$的定义域,记为$D_f$,即$D_f=X$
• $X$中所有元素的像组成的集合称为映射$f$的值域,记为$R_f$或$f(X)$,即$R_f=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$

小结

• 一个映射需要具备3个要素:
  • 集合$X$(定义域$D_f=X$)
  • 集合$Y$(值域范围,$R_f\subset Y$)
  • 对应法则$f$,使每个$x\in X$,有唯一确定的$y=f(x)$与之对应
• 每个$x\in X$的像$y$是唯一的
• 每个$x\in R_f$的原像不一定是唯一的
• 映射$f$的值域$R_f$是$Y$的一个子集$(R_f\subset Y)$,而不一定有$R_f=Y$

例

• 设$f:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ $\to$ $[-1,1]$,对于每个$x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,对应法则:$f(x)=\sin x$,$f$是一个映射,其定义域$D_f=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$,值域$R_f=[-1,1]$

满射

• 设$f$是从集合$X\to Y$的映射,若$R_f=Y$,即$Y$中任一元素$y$都是$X$中某元素的像,则$f$为$X\to Y$的满射
• 满射是特殊的映射,意味着$Y$中没有多余的元素,$R_f=Y$

单射

• 若对$X$中任意两个不同元素$x_1\ne x_2$,它们的像$f(x_1)\ne f(x_2)$,则称$f$为$X\to Y$的单射
• 单设也是一种特殊的映射
• Note:
  • 单调函数一定是单射,但是单射不一定是单调函数,可能是离散的非单调函数
  • 对于单调不减函数,$x_1<x_2$,$f(x_1)⩽f(x_2)$不一定满足单射,单不增类似
  • 对于存在$x_1\ne x_2$,$f(x_1)=f(x_1)$的非严格单调函数不是单射
  • 单调函数中要求是严格单调函数才是且一定是单射

双射

• 若$f$既是单设也是满射,则称$f$为双射(一 一映射)
• 例:$f:x\to \sin x$,$f(x)=\sin x,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$是双射

映射的其他称呼

• 映射又称为算子
• 根据集合$X,Y$的不同情形,不同的数学分支中,映射有不同的管用名称
  • 从非空集合$X$到数集$Y$的映射又称为$X$上的泛函
  • 从非空集$X$到它自身的映射又称为$X$的变换
  • 从实数集合(或其子集)$X$到实数集$Y$的映射通常称为定义在$X$上的函数

逆映射

• 设$f$是$X\to Y$的单射,则对每个$y\in R_f$,有唯一的$x\in X$,满足$f(x)=y$
• 我们可以定义一个从$R_f$到$X$的新映射$g$,即$g:R_f\to X$;对每个$y\in R_f$,规定$g(y)=x$,且$x$满足$f(x)=y$
• 那么这个新映射$g$称为$f$的逆映射,记为$f^{-1}$,其定义域为$D_{f^{-1}}=R_j$,值域为$R_{j^{-1}}=X$
• 显然
  • $f,g$的定义域和值域是相对调关系
  • 按定义,只有单射才存在逆映射
• 例如$f(x)=\sin x,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$是单射,且$f$的逆映射$f^{-1}$是反正弦函数$f^{-1}(x)=\arcsin x,x\in [-1,1]$
  • 其定义域$D_{f^{-1}}=[-1,1]$;值域$R_{f^{-1}}=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

复合映射

• 设有2个映射$g:X\to Y_1$,$f:Y_2\to Z$;其中$Y_1\subset Y_2$,则有$g,f$可以定处一个从$X\to Z$的对应法则$h$,即,它将$x\in X$映射成$h(x)=f[g(x)]\in Z$
• 映射$h$称为$f,g$的复合映射,记为$f\circ g$,即$f\circ g:X\to Z$,$(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X$
• $(f\circ g)(x)$中,$(f\circ g)$是一个函数符号整体,相当于$h$,不引起歧义时不加括号:$f\circ g$
• 内外层:$f\circ g$中$f$是外层映射,$g$是内层映射

映射间可复合条件@复合顺序

• 映射$g,f$构成复合映射$f\circ g$的条件是:$R_g\subset D_f$,否则复合无意义(不可符合)
• 因此,映射$g,f$有复合顺序,$f\circ g$有意义,也不表示$g\circ f$有意义;即使$g\circ f,f\circ g$都有意义,两者也未必相同
• 例如:$g(x)=\sin x$,$f(x)=x^2$,$x\in R$;
  • $(f\circ g)(x)=f(g(x))=g^2(x)$;$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sin x^2$,$x\in R$
• 例如:
  • 映射$g:R\to [-1,1]$,对于每个$x\in R$,$g(x)=\sin x$;
  • 映射$f:[-1,1]\to [0,1]$对每个$u\in [-1,1],f(u)=\sqrt{1-u^2}$,
  • 则映射$g$和$f$构成复合映射$f\circ g:R\to [0,1]$,对于每个$x\in R$,$(f\circ g)(x)=f(g(x))$=$\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$=$|\cos x|$

函数@基于映射的函数相关定义

函数

• 设数集$D\subset \mathbb{R}$,则映射$f:D\to \mathbb{R}$为定义在$D$上的函数,通常记为$y=f(x),x\in D$
• 其中$x$为自变量,$y$为因变量,$D$为定义域,记为$D_f$,即$D_f=D$

函数的记法及其含义

函数值$f(x)$

• 函数的定义中,$\forall x\in D$,按对应法则$f$,总有唯一确定的值$y$与之对应,这个值称为函数$f$在$x$处的函数值,记为$f(x)$,即$y=f(x)$

函数关系

• 因变量$y$和自变量$x$之间的依赖关系,通常称为函数关系

定义域和值域

• 函数$f$的自变量$x$的所有取值集合$D_f$称为定义域
• 函数值$f(x)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域,记为$R_f$或$f(D)$,即$R_f=f(D)=\{y\mid y=f(x),x\in D\}$

$f,f(x)$的比较

• 需要指出,按照上述定义,记号$f$和$f(x)$的含义是有区别的:
  • $f$表示自变量$x$和因变量$y$之间的对应法则
  • $f(x)$表示与自变量$x$对应的函数值
• 但是为了方便讨论,习惯上常用记号$f(x),x\in D$或$y=f(x),x\in D$来表示定义在$D$上的函数

函数的记号

• 函数的记号可以是任意选取的
• 除了常用的$f$外,还可以用其他英文或希腊字母表示,例如$g,F,\varphi$;相应地,函数可以记作$y=g(x),y=F(x),y=\varphi (x)$
• 有时还直接用因变量的记号来表示函数,比如把函数记为$y=y(x)$
• 在同一个问题中,讨论几个不同函数时,需要用不同的记号来表示和相互区别它们

函数定义域种类

• 函数时从实数集到实数集的映射,其值域总是在$R$内
• 构成函数的要素有两个:定义域$D_f$,对应法则$f$
• 函数的定义域由两种情形确定:
  • 对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定
    • 例如,在自由落体运动中,设物体下落的时间为$t$,下落的距离为$s$,开始下落的时刻$t=0$,落地的时刻$t=T$,则$s,t$之间的函数关系为$s=\frac{1}{2}g{t}^2$,$t\in [0,T]$
  • 对于抽象地用算式表达的函数,通常约定这种函数的定义域时使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域
    • 一般的,用算式表达的函数可以用"$y=f(x)$"的形式表示,而不需要表出$D_f$
    • 例如,$y=\sqrt{1-x^2}$的定义域式闭区间$[-1,1]$

函数相同

• 如果两个函数的定义域和对应法则都相同,那么着两个函数相同

函数中的字母说明

• 函数的自变量和因变量以及对应法则使用什么样的字母不影响函数本身

• 例如,若$f,g$两个对应法则是相同的,那么

  • $y=f(x),x\in D$和$x=g(y),y\in D$是相同的函数

  • 这是一因为两个函数的对应规则和定义域都一样,所以表示的函数也相同

  • 显然,$x=f(y),y\in D$和上述2个函数也是相同的

• 总之,自变量不一定要用字母$x$,反之,字母$x$也未必总是表示自变量;类似的,字母$y$和因变量有相仿的说法

• 但是习惯上,我们还是习惯在不引起歧义和混淆的情况下,将一个函数中的自变量用字母$x$表示,而因变量用字母$y$表示

• 在反函数的章节中,会体现这一点

函数的表示方法

• 函数的表示方法主要有3种:
  • 表格法
  • 图形法
  • 解析法(公式法)

函数图形

• :基于函数图形的概念,用坐标平面上的点集$\{P(x,y)\mid y=f(x),x\in D\}$;该点集称为函数$y=f(x),x\in D$的图形

分段函数

• 在自变量的不同变化范围种,对应法则用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数

函数的特性

分析一个函数的特性,可以从以下4个方面分析

1. 有界性
2. 单调性
3. 奇偶性
4. 周期性

此处不展开

反函数

• 作为逆映射的特例,可以定义如下反函数概念
• 设函数$f:D\to f(D)$是单射,则它存在逆映射$f^{-1}:f(D)\to D$,称此映射$f^{-1}$为函数$f$的反函数
  • 这里$f(D)$表示$f$的值域$R_f$
• 由反函数定义,$\forall y\in f(D)$,有唯一的$x\in D$,满足$f(x)=y$,于是$f^{-1}(y)=x$(或作$x=f^{-1}(y)$)
• 即,$f^{-1}$的对应法则完全由函数$f$的对应法则所确定
• 例如:$y=x^3,x\in \mathbb{R}$是单射,所以它的反函数存在,且其反函数$x=y^{\frac{1}{3}},x\in \mathbb{R}$

直接函数

• 相对于反函数$y=f^{-1}(x)$而言,原来的函数$y=f(x)$称为直接函数
• 直接函数和反函数互为反函数

反函数表示

• 对于$y=f(x),x\in D$的反函数$x=f^{-1}(y)$,习惯上自变量用字母$x$表示,而因变量用字母$y$表示
  • 例如$y=x^2,x\in \mathbb{R}$的反函数通常写作$y=x^{\frac{1}{3}},x\in \mathbb{R}$
• 一般地,$y=f(x),x\in D$的反函数记为$y=f^{-1}(x),x\in f(D)$

单调函数和反函数

• 若$f$是定义在$D$上的单调函数,则$f:D\to f(D)$是单射,于是$f$必定存在反函数$f^{-1}$,且$f^{-1}$也是单调的
• 证明:以单调增加为例,单调减少类似
  • 不妨设$f$在$D$上单调增加,我们证$f^{-1}$在$f(D)$上同样单调增加
  • $\forall y_1,y_2\in f(D)$,且$y_1<y_2$,按函数$f$的定义:
    • 对于$y_1$,在$D$内存在唯一的原像$x_1$使得$f(x_1)=y_1$,从而$f^{-1}(y_1)=x_1$
    • 对于$y_2$,在$D$内存在唯一的原像$x_2$使得$f(x_2)=y_2$,从而$f^{-1}(y_2)=x_2$
    • 方法1:因为$y_1<y_2$,且函数$f$单调增加,所以$x_1<x_2$,即$f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$.即$f^{-1}$在$f(D)$上单调增加
    • 方法2:若$x_1>x_2$,则由$f(x)$单调增加,$y_1>y_2$;若$x_1=x_2$,则$y_1=y_2$,显然这两种假设都和$y_1<y_2$矛盾,所以$x_1<x_2$,即$f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$.即$f^{-1}$在$f(D)$上单调增加

互为反函数的两个函数的图形特点

• 如果把直接函数$y=f(x)$和它的反函数$y=f^{-1}(x)$的图形画在同一个坐标系上,则这两个图形关于$y=x$对称

  • 若$P(a,b)$在$y=f(x)$的图形上,则$b=f(a)$
  • 由反函数定义,$a,b$满足$a=f^{-1}(b)$,即$Q(b,a)$在函数$y=f^{-1}(x)$的图形上
  • 反之,若$Q(b,a)$是$y=f^{-1}(x)$上的点,有$a=f^{-1}(b)$,$b=f(a)$,即$P(a,b)$是$y=f(x)$上的点
  • 而$P(a,b),Q(b,a)$是关于直线$y=x$对称,所以$f,f^{-1}$关于直线$y=x$对称

• 在同一直角坐标系内,$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$的图像重合(一致)

  • 函数$x=f^{-1}(y)$自变量为$y$,对应于$y$轴,因变量$x$对应于$x$轴
  • 设$P$的坐标为$(P_x,P_y)=(a,b)$是$x=f^{-1}(y)$上的点,则有$P_x=f^{-1}(P_y)$即$a=f^{-1}(b)$,
  • 由反函数定义,有$b=f(a)$,即$(a,b)$是$y=f(x)$上的点
  • 所以$P(a,b)$同时在$x=f^{-1}(y)$,$y=f(x)$的图形上,类似的,$y=f(x)$上的点也都在$x=f^{-1}(y)$上
  • 所以结论成立

自反性质

• 由反函数的定义:
  • $y=f(f^{-1}(y)),y\in R_f$,
  • $x=f^{-1}(f(x)),x\in D_f$

复合函数

• 复合函数是复合映射的一种特例
• 设函数$y=f(u),u\in D_f$,$u=g(x),x\in D_g$,且其值域$R_g\subset D_f$,则函数$y=f[g(x)]$,$x\in D_g$称为$u=g(x)$和$y=f(u)$构成的复合函数;它的定义域为$D_g$,变量$u$称为中间变量

复合顺序

• 函数$g$(内层函数)和$f$(外层函数)构成的复合函数,即按"先$g$后$f$"的次序复合的函数极记为$f\circ g$,即$(f\circ g)(x)$=$f[g(x)]$

复合条件

• 和复合映射相仿,$f\circ g$有意义的条件是$R_g\subset D_f$

• 某些不满足复合条件的函数,通过将内层函数的定义域加以限制得到新的函数,可以得到可复合的函数组

• 例如$f\circ g$无意义,但是限制定义域后的$g^{\ast }$可以和$f$复合:$f\circ g^{\ast }$

• 一般地,只要是$R_g\cap D_f\ne \varnothing$,则存在$g^{\ast }$使得$f\circ g^{\ast }$有意义,

• 通常,为了简便,我们仍然称$f\circ g^{\ast }$为函数$g$和函数$f$地复合函数

多重复合

• 有时会有超过3个函数进行复合,只要它们顺次满足构成复合函数地的条件即可复合