【洛谷 P1403】[AHOI2005] 约数研究 题解（数学）

[AHOI2005] 约数研究

题目描述

科学家们在 Samuel 星球上的探险得到了丰富的能源储备，这使得空间站中大型计算机 Samuel II 的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩，小联被允许用 Samuel II 进行数学研究。

小联最近在研究和约数有关的问题，他统计每个正数 $N$ 的约数的个数，并以 $f(N)$ 来表示。例如 $12$ 的约数有 $1,2,3,4,6,12$，因此 $f(12)=6$。下表给出了一些 $f(N)$ 的取值：

$N$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f(N)$	$1$	$2$	$2$	$3$	$2$	$4$

现在请你求出：

$$\sum _{i=1}^{n}f(i)$$

输入格式

输入一个整数 $n$。

输出格式

输出答案。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

5

提示

• 对于 $20\%$ 的数据，$N\le 5000$；
• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 10^6$。

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思路

由于数据量大，直接暴力去分解因数会导致TLE。

不妨换个思路，用类似埃氏筛法的思路去枚举倍数。

假设n = 12，枚举 1 ~ n 小于等于n的倍数个数：
1：1、2、……、11、12，共12个
2：2、4、……、10、12，共6个
3：3、6、9、12，共4个
4：4、8、12，共3个
……
12：12，共1个

小于等于n的倍数个数 = n / i

在 for 循环中，每次将 n / i 累加到 ans 中，实际上就是将 1 ~ n 的所有约数的数量之和求出来了。

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AC代码

#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    int ans = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans += n / i;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}