吴军--数学通识讲义--基础篇--理解数学的线索

勾股定理，在西方被称为“毕达哥拉斯定理”。

勾股定理

关于数学上的定理，找到一个特例和提出一种具有普遍意义的陈述，是完全不同的两件事。其次，命题还不等定定理。最后，有用的猜想从逻辑上被证明了，才能成为定理。

研究数学和自然科学有三方面的不同：

1.测量和逻辑推理的区别

在自然科学中，我们基于测量和观察得到量化的结论。但在数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑，通过严格证明来得到，不能靠经验总结出来。

2.事实证实和逻辑证明的区别

自然科学的定律和理论，尽管被实验证实了，但其实实验的置信度不可能是100%，都存在一个很小的被推翻的可能性。但在数学上，决不允许实验下验证一个假说（猜想）正确与否。只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。它要么完全正确，没有例外；要么会因为一个例外，被完全否定，没有大致正确的说法。

3.科学结论相对性和数学结论绝对性的区别

因为数学中的每一个定理都是一块基石，在此基础上才会有下一块新的基石。例如由勾股定理，三角学才得以建立，解析同何才得以确立，然后才有微积分等等。

无理数是毕达哥拉斯定理的推论，但它也带来数学思想的大飞跃，说明人类对数字的认识还具有局限性，需要有新的思想和理论。

亚当●赖斯等人通过计算,发现宇宙的质量是负数，所以他们认定宇宙中一定存在我们看不见、更不了解的东西，就是所谓的暗能量，赖斯等人也因此获得了2011年诺贝尔物理学奖。

数学思维是从不可能变的事实出发，利用逻辑找出矛盾，发现问题，然后再设法解决问题。不可能变的事实，比如说宇宙中基本粒子的数量是有限的，任何经济增长都不可能是长期翻番的。具体到金融中，就是任何建立在空中楼阁上的复利增长都难以持续，比如庞氏骗局。

善用数学知识和逻辑，对一个长期的趋势做出正确的判断，预见到我们必须做的事情，以及不能做的事情。

学习数学最有价值的地方是，接受一种逻辑训练，形成理性思维的习惯，在生活中善于找出矛盾、发现问题，然后用逻辑的方法找到答案并采取行动。

黄金分割（1：0.618或1.618:1）是数学和美学的桥梁。台风的形状乃至银河系的开关在者是黄金分割的比例，它反映了宇宙自身的一个常数。包括帕特农神庙的设计者、达芬奇、埃菲尔都知道黄金分割，并且刻意使用了这个比例。

单点或多点透视效果图

我们可以在艺术创作中采用两点和多点透视。艺术不仅需要数学，也需要光学。印象派绘画的一大特点，就是很好地利用了当时人类在物理上对于色彩和亮度认识的进步。

华罗庚先生发现的优选法是一种解决最优化问题的方法。

优选法有两个含义：首先它能够找到实际问题的最优解；其次，它强调寻找最优解的方法本身也应该是最简单的，或者说是最优的。

优选法的原理基于黄金分割，华先生又称为“0.618法。” 华罗庚先生的过人之处在于，他找到了一种让一线职工都很容易掌握和使用的数学方法，这是真正大师的水平。

把数学原则在生活中用起来。

比如摄影时，将照片中的主角放在黄金分割点处，照片画面会显得平衡而又不乏灵动。

在投资的配比上，建议将62%左右的资产放在回报高、风险也相对高的股市上。在剩余的大约38%的资产中，大约24%的资产放在相对稳妥的债券上，这一值大概是38%的黄金分割点。最后的百分之十几的资产，则是各种复杂的组合投资。

在制定旅行计划时，如果你有10天时间，前6天可以搜集信息、做比较，第7天做决定，这时候的决定很大程度上会是最优的。