非线性系统【六】|有界性,毕竟有界性,输入-状态稳定性

非线性系统【六】|有界性,毕竟有界性,输入-状态稳定性

定义4.6

对于系统 x ˙ = f ( t , x ) \dot{x}=f(t,x) x˙=f(t,x)

  • 如果存在一个与 t 0 t_0 t0无关的正常数 c c c, t 0 ≥ 0 t_0 \geq 0 t00,则对于每个 a ∈ ( 0 , c ) a \in (0, c) a(0,c),存在与 t 0 t_0 t0无关的 β = β ( a ) > 0 \beta = \beta(a) >0 β=β(a)>0满足 ∣ ∣ x ( t 0 ) ∣ ∣ ≤ a → ∣ ∣ x ( t ) ∣ ∣ ≤ β , ∀ t ≥ t 0 ||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq \beta, \forall t \geq t_0 ∣∣x(t0)∣∣a∣∣x(t)∣∣β,tt0,则系统的解是一致有界的。
  • 如果 ∣ ∣ x ( t 0 ) ∣ ∣ ≤ a → ∣ ∣ x ( t ) ∣ ∣ ≤ β , ∀ t ≥ t 0 ||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq \beta, \forall t \geq t_0 ∣∣x(t0)∣∣a∣∣x(t)∣∣β,tt0对于任意大的 a a a都成立,则系统的解是全局一致有界的。
  • 如果存在与 t 0 t_0 t0无关的正常数 b b b c c c t ≥ 0 t\geq0 t0,则对于每个 a ∈ ( 0 , c ) a\in (0,c) a(0,c),存在 T = T ( a , b ) ≥ 0 T=T(a,b)\geq0 T=T(a,b)0 t 0 t_0 t0无关,满足 ∣ ∣ x ( t 0 ) ∣ ∣ ≤ a → ∣ ∣ x ( t ) ∣ ∣ ≤ b , ∀ t ≥ t 0 + T ||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq b, \forall t \geq t_0+T ∣∣x(t0)∣∣a∣∣x(t)∣∣b,tt0+T则系统的解是一致毕竟有界的,且最终边界为b
  • 如果 ∣ ∣ x ( t 0 ) ∣ ∣ ≤ a → ∣ ∣ x ( t ) ∣ ∣ ≤ b , ∀ t ≥ t 0 + T ||x(t_0)||\leq a \rightarrow ||x(t)||\leq b, \forall t \geq t_0+T ∣∣x(t0)∣∣a∣∣x(t)∣∣b,tt0+T对于任意大的 a a a都成立,则系统的解是全局一致毕竟有界的。

定理4.18

D ⊂ R n D \sub R^n DRn是包含原点的定义域,且 ∀ t ≥ 0 , ∀ x ∈ D , V : [ 0 , ∞ ) × D → R \forall t \geq 0, \forall x \in D, V:[0, \infty) \times D \rightarrow R t0,xD,V:[0,)×DR是连续可微函数,满足
α 1 ( ∣ ∣ x ∣ ∣ ) ≤ V ( t , x ) ≤ α 2 ( ∣ ∣ x ∣ ∣ ) \alpha_1(||x||)\leq V(t,x) \leq \alpha_2(||x||) α1(∣∣x∣∣)V(t,x)α2(∣∣x∣∣)
∂ V ∂ t + ∂ V ∂ x f ( t , x ) ≤ − W 3 ( x ) , ∀ ∣ ∣ x ∣ ∣ ≥ μ > 0 \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x}f(t,x) \leq -W_3(x), \forall ||x|| \geq \mu >0 tV+xVf(t,x)W3(x),∀∣∣x∣∣μ>0
式中 α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 K \mathcal{K} K类函数, W 3 ( x ) W_3(x) W3(x)是连续正定函数。取 r > 0 r>0 r>0使 B r ⊂ D B_r \sub D BrD,并假设
μ < α 2 − 1 ( α 1 ( r ) ) \mu < \alpha^{-1}_2(\alpha_1(r)) μ<α21(α1(r))
那么,存在一个 K L \mathcal{K} \mathcal{L} KL类函数 β \beta β,且对于每个满足 ∣ ∣ x ( t 0 ) ∣ ∣ ≤ α 2 − 1 ( α 1 ( r ) ) ||x(t_0)|| \leq \alpha^{-1}_2(\alpha_1(r)) ∣∣x(t0)∣∣α21(α1(r))的初始状态 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0),存在 T ≥ 0 T\geq 0 T0(与 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0) μ \mu μ有关),使方程的解满足
∣ ∣ x ( t ) ∣ ∣ ≤ β ( ∣ ∣ x ( t 0 ) ∣ ∣ , t − t 0 ) , ∀ t 0 ≤ t ≤ t 0 + T ||x(t)||\leq\beta(||x(t_0)||,t-t_0),\forall t_0 \leq t \leq t_0 + T ∣∣x(t)∣∣β(∣∣x(t0)∣∣,tt0),t0tt0+T
∣ ∣ x ( t ) ∣ ∣ ≤ α 1 − 1 ( α 2 ( μ ) ) , ∀ t ≥ t 0 + T ||x(t)|| \leq \alpha^{-1}_1 (\alpha_2(\mu)), \forall t \geq t_0 + T ∣∣x(t)∣∣α11(α2(μ)),tt0+T
而且,如果 D = R n D=R^n D=Rn α 1 \alpha_1 α1属于 K ∞ \mathcal{K}_{\infty} K类函数,则上面两个式子对于任意初始状态 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0)都成立,对 μ \mu μ的大小没有限制。

定义4.7

如果存在一个 K L \mathcal{K}\mathcal{L} KL类函数和一个 K \mathcal{K} K类函数 γ \gamma γ,使对任何初始时间 t 0 t_0 t0、初始状态 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0)和有界输入 u ( t ) u(t) u(t),解 x ( t ) x(t) x(t)对于所有 t ≥ t 0 t \geq t_0 tt0都存在,且满足
∣ ∣ x ( t ) ∣ ∣ ≤ β ( ∣ ∣ x ( t 0 ) ∣ ∣ , t + t 0 ) + γ ( s u p t 0 ≤ τ ≤ t ∣ ∣ μ ( τ ) ∣ ∣ ) ||x(t)||\leq \beta(||x(t_0)||, t+t_0) + \gamma( sup_{t_0 \leq \tau \leq t} ||\mu(\tau)||) ∣∣x(t)∣∣β(∣∣x(t0)∣∣,t+t0)+γ(supt0τt∣∣μ(τ)∣∣)
那么系统就是输入-状态稳定的。

定理4.19 类李雅普诺夫定理,输入-状态稳定性的一个充分条件

V : [ 0 , ∞ ) × R n → R V:[0,\infty) \times R^n \rightarrow R V:[0,)×RnR是连续可微函数,满足
α 1 ( ∣ ∣ x ∣ ∣ ) ≤ V ( t , x ) ≤ α 2 ( ∣ ∣ x ∣ ∣ ) \alpha_1(||x||) \leq V(t,x) \leq \alpha_2(||x||) α1(∣∣x∣∣)V(t,x)α2(∣∣x∣∣)
∂ V ∂ t + ∂ V ∂ x f ( t , x ) ≤ − W 3 ( x ) , ∀ ∣ ∣ x ∣ ∣ ≥ ρ ( ∣ ∣ μ ∣ ∣ ) > 0 \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x}f(t,x) \leq -W_3(x), \forall ||x|| \geq \rho(|| \mu ||) >0 tV+xVf(t,x)W3(x),∀∣∣x∣∣ρ(∣∣μ∣∣)>0
∀ ( t , x , u ) ∈ [ 0 , ∞ ) × R n × R m \forall (t, x, u) \in [0, \infty) \times R^n \times R^m (t,x,u)[0,)×Rn×Rm,其中 α 1 , α 2 \alpha_1, \alpha_2 α1,α2 K ∞ \mathcal{K}_{\infty} K类函数, ρ \rho ρ K \mathcal{K} K类函数, W 3 ( x ) W_3(x) W3(x) R n R^n Rn上的连续正定函数。则系统是输入输出状态稳定的, γ = α 1 − 1 ⋅ α 2 ⋅ ρ \gamma = \alpha_1^{-1} \cdot \alpha_2 \cdot \rho γ=α11α2ρ

引理4.6

假设 f ( t , x , u ) f(t,x,u) f(t,x,u)对于 ( x , u ) (x,u) (x,u)是连续可微的,且是全局利普希兹的,对 t t t一致。如果无激励系统在原点 x = 0 x=0 x=0处有全局指数稳定的平衡点,那么系统是输入-状态稳定的。

引理4.7

在上述假设条件下,如果以 x 2 x_2 x2作为输入时系统是输入-状态稳定的,且系统的原点是全局一致渐进稳定的,那么系统和系统的级联系统的原点也是全局一致渐近稳定的。

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