LCMV波束形成和GSC波束形成算法原理介绍及MATLAB实现
LCMV波束形成
线性约束最小方差波束形成算法（Linearly constrained minimum variance，LCMV）
为了消除阵列方向图在期望信号出现零陷，采取多个线性约束的方式来强制接收期望信号，即
{ min w w H R ^ x w s . t . C H w = f \left\{ \begin{aligned} & \underset{\mathbf{w}}{\mathop{\min }}\,\ {{\mathbf{w}}^{H}}\hat{\mathbf{R}}_{x}\mathbf{w} \\ & s.t.\ \ {{\mathbf{C}}^{H}}\mathbf{w}=\mathbf{f} \\ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧wmin wHR^xws.t. CHw=f
其中， f = [ 1 , 1 , ⋯ , 1 ] T \mathbf{f}={{\left[ 1,1,\cdots ,1 \right]}^{T}} f=[1,1,⋯,1]T 为 N × 1 N\times 1 N×1的约束值向量， C = [ a ˉ ( θ 01 ) , a ˉ ( θ 02 ) , ⋯ , a ˉ ( θ 0 N ) ] \mathbf{C}=\left[ \bar{\mathbf{a}}\left( {{\theta }_{01}} \right),\bar{\mathbf{a}}\left( {{\theta }_{02}} \right),\cdots ,\bar{\mathbf{a}}\left( {{\theta }_{0N}} \right) \right] C=[aˉ(θ01),aˉ(θ02),⋯,aˉ(θ0N)]为 M × N M\times N M×N维的约束矩阵， θ 0 n {{\theta }_{0n}} θ0n， n = 1 , 2 , ⋯ , N n=1,2,\cdots ,N n=1,2,⋯,N为可能的期望信号方向。 a ˉ ( θ 0 n ) \bar{\mathbf{a}}\left( {{\theta }_{0n}} \right) aˉ(θ0n)为对应的导向矢量。这样做的目的是在所有期望信号方向上设置无失真约束来达到扩展主瓣的目的。通过拉格朗日乘数法，可以求解得到最终的权系数为
w = R ^ x − 1 C ( C H R ^ x − 1 C ) − 1 f \mathbf{w}\text{=}\mathbf{\hat{R}}_{x}^{-1}\mathbf{C}{{\left( {{\mathbf{C}}^{H}}\mathbf{\hat{R}}_{x}^{-1}\mathbf{C} \right)}^{-1}}\mathbf{f} w=R^x−1C(CHR^x−1C)−1f
当约束矩阵为一个矢量时，该方法退化为最小方差无失真响应（MVDR）波束形成算法，也就是说MVDR算法是LCMV算法的一个特例。
广义旁瓣对消（GSC）算法
GSC算法是与LCMV算法等效的，其权矢量被分解为自适应部分和非自适应部分，其中自适应部分正交于约束子空间，而非自适应部分位于约束子空间内，其权矢量可以表示为
w = w q − B w a \mathbf{w}={{\mathbf{w}}_{q}}-\mathbf{B}{{\mathbf{w}}_{a}} w=wq−Bwa
其中， w q = ( C C H ) − 1 C f {{\mathbf{w}}_{q}}={{\left( \mathbf{C}{{\mathbf{C}}^{H}} \right)}^{-1}}\mathbf{Cf} wq=(CCH)−1Cf， w a = ( B H R ^ x B ) − 1 B H R ^ x w q {{\mathbf{w}}_{a}}={{\left( {{\mathbf{B}}^{H}}{{{\mathbf{\hat{R}}}}_{x}}\mathbf{B} \right)}^{-1}}{{\mathbf{B}}^{H}}{{\mathbf{\hat{R}}}_{x}}{{\mathbf{w}}_{q}} wa=(BHR^xB)−1BHR^xwq， B \mathbf{B} B为阻塞矩阵，正交于约束矩阵 B H C = 0 {{\mathbf{B}}^{H}}\mathbf{C}=\mathbf{0} BHC=0，其作用是为了阻止期望信号进入辅助支路。关于 B \mathbf{B} B可以通过求 C \mathbf{C} C的补空间来确定
B = I − C ( C H C ) − 1 C H \mathbf{B}=\mathbf{I}-\mathbf{C}{{\left( \mathbf{C}^{H}{{\mathbf{C}}} \right)}^{-1}}{{\mathbf{C}}^{H}} B=I−C(CHC)−1CH
主支路的输出 y = w q H x \mathbf{y}=\mathbf{w}_{q}^{H}\mathbf{x} y=wqHx， 阻塞矩阵投影后的输出为 z = B H x \mathbf{z}={{\mathbf{B}}^{H}}\mathbf{x} z=BHx，那么自适应的权矢量可以表示为
w a = R ^ z − 1 P ^ z {{\mathbf{w}}_{a}}\text{=}\mathbf{\hat{R}}_{z}^{-1}{{\mathbf{\hat{P}}}_{z}} wa=R^z−1P^z
其中， R ^ z = B H R ^ x B {{\mathbf{\hat{R}}}_{z}}={{\mathbf{B}}^{H}}{{\mathbf{\hat{R}}}_{x}}\mathbf{B} R^z=BHR^xB是 z \mathbf{z} z的协方差矩阵， P ^ z = B H R ^ x w q {{\mathbf{\hat{P}}}_{z}}={{\mathbf{B}}^{H}}{{\mathbf{\hat{R}}}_{x}}{{\mathbf{w}}_{q}} P^z=BHR^xwq是 z \mathbf{z} z和 y \mathbf{y} y的互协方差矩阵。
GSC是LCMV的等效，其将后者的有约束的优化问题变成了无约束的优化问题，当 z \mathbf{z} z中含有较少期望信号时，GSC还能正常工作，反之，其性能会大幅度下降。
仿真参数设置
| 参数名称 | 参数值 |
|---|---|
| 阵元数 | 10 |
| 期望信号角度 | − 5 ∘ -5^{\circ} −5∘ |
| 干扰信号角度 | − 3 0 ∘ -30^{\circ} −30∘、 3 0 ∘ 30^{\circ} 30∘ |
| SNR | 10dB |
| INR | 20 |
| 快拍数 | 60 |
基于上述仿真参数，可以得到LCMV的方向图为
从图中来看，LCMV的方向图能够在干扰方向形成零陷， 但是由于增加了主瓣约束，将多个方向当作期望信号，导致其主瓣宽度增加。当约束只有一个时，可以得到如下结果
可以看出，其能够在期望信号方向形成最大增益，干扰方向上形成零陷。
代码如下：
clear;
close all;
clc;
warning off
%% 初始化
M = 10; %阵元数
fs = 5000; % 采样频率
f = 1000; % 信号频率
snap = 600; % 快拍数
T = 0.5; %采样时间
t = 1/fs:1/fs:T;
c = 340;
lamda = c/f; %波长
d = 0.5*lamda; %阵元间距
theta0 =-5; %期望信号角度
theta1 =-30; %干扰角度
theta2 = 30; %干扰角度
snr=10; %信噪比
inr1 =20; %干噪比
inr2 = 20; %干噪比
snr_noise = 0; %噪声功率1,为0dBW
%% 导向矢量
a0 = exp(-1j*2*pi*d*sind(theta0)*(0:M-1)'/lamda);
a1 = exp(-1j*2*pi*d*sind(theta1)*(0:M-1)'/lamda);
a2 = exp(-1j*2*pi*d*sind(theta2)*(0:M-1)'/lamda);
%% 信号、干扰和噪声
tar_sig = wgn(1,length(t), snr);
inf1 = wgn(1,length(t),inr1);
inf2 = wgn(1,length(t),inr2);
noise = wgn(M,length(t),snr_noise);
%% 阵列接收信号
rec_sig = a0*tar_sig + a1*inf1 + a2*inf2 + noise;
interference = a1*inf1 + a2*inf2;
sig = a0 * tar_sig;
%% 协方差矩阵
Rx = rec_sig(:,1:snap)*rec_sig(:,1:snap)'/snap;
Rs = sig(:,1:snap)*sig(:,1:snap)'/snap;
Ri = interference(:,1:snap)*interference(:,1:snap)'/snap;
Rn = noise(:,1:snap)*noise(:,1:snap)'/snap;
%% LCMV算法
a01 = exp(-1j*2*pi*d*sind(theta0 + 5)*(0:M-1)'/lamda);
a02 = exp(-1j*2*pi*d*sind(theta0 - 5)*(0:M-1)'/lamda);
C=[a0,a01,a02];
f=[1,1,1]';
w_lcmv =inv(Rx)*C*(inv(C'*inv(Rx)*C))*f; %权系数
theta = -90:0.1:90; % scan angle
p = exp(-1j*2*pi*d*(0:M-1)'*sind(theta)/lamda);
y = w_lcmv'*p;
yy = 20*log10(abs(y)/max(abs(y)));
%% 绘图
figure(1);
plot(theta,yy,'linewidth', 2);
xlabel('角度(\circ)');ylabel('归一化增益(dB)')
grid on;
xlim([-90 90])
参考文献：
[1]张小飞.阵列信号处理的理论和应用.国防工业出版社