定点数的乘除运算

定点数的乘法运算

在计算机中，乘法运算由累加和右移操作实现。根据机器数的不同分为原码一位乘法和补码一位乘法。

原码一位乘法

符号位和数值位是分开求的
乘积符号由两个数的符号位异或形成，
乘积数值部分则是两个数的绝对值相乘之积

手算模拟

符号位：P_s = A_s ⊕ B_s = 0 ⊕ 0 = 0
手算模拟（二进制）

（乘数）0.1011 = 1 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 1 * 2^-4
（被乘数）0.1101 = 1101 * 2^-4
0.1101*1.1011=(1101 * 1 * 2^-8)+(1101 * 1 * 2^-7)+(1101 * 1 * 2^-5)用移位实现
【例题】设机器字长为n+1=5位，[x]_原=1.1101，[y]_原=0.1011，用原码一位法求x·y。

正式进行乘法运算之前ACC置为0
当前MQ最低位为1，ACC加上被乘数；当前位为0，ACC加上0。（上图当前位就为1，则ACC应加上被乘数01101，这个运算由ALU即算法逻辑单元里的加法电路实现的，相加的结果会放在ACC寄存器里面（ACC）+（X）—> ACC 00000+01101=01101
然后求下一个位积，由于手动计算时需错位，计算机将ACC和MQ里的数字统一逻辑右移一位，高位补零，此时ACC=00110 MQ=10101；同上当前MQ最低位为1，(ACC)+(X)–>ACC 00110+01101=10011）
运算法则：先加法再位移，重复n次数值位有几位就重复几次

乘数的符号位不参与运算
修改符号位x_s⊕y_s= 1⊕0=1

运算时可能出现绝对值大于1的情况(但此刻结果并未溢出)，部分积和被乘数取双符号位
、、、、、、、、手算模拟、、、、、、、、

补码一位乘法（Booth算法）

进行n轮，加法、移位运算，最后多来一次加法
每次加法可能+0、+[x]_补、+[-x]_补
每次移位是"补码的算数右移"
符号位参与运算
辅助位 - MQ中最低位 = 1时，(ACC)+[x]_补
辅助位 - MQ中最低位 = 0时，(ACC)+0
辅助位 - MQ中最低位 = -1时，(ACC)+[-x]_补
补码的算数右移:符号位不动，数值位右移；正数右移补零，负数右移补1（符号位是啥就补啥）

定点数的除法法运算

“累加”–“左移”

原码除法运算

商符和商值分开进行运算。
商符：符号位“异或”形成。Q_s=x_s⊕y_s
商值：|Q|=|x|/|y|

恢复余数法

设机器字长为5位，（含1位符号位，n=4）,x=0.1011,y=0.1101,采用原码恢复除数法求x/y.

不恢复余数法

求|Q|。
1.符号位不参加运算。
2.被除数减去除数（|x|-|y|=|x|+(-|y|)=|x|+[-|y|]_补）
余正商上1，余商左移1，再减去除数
余负商上0，余商左移1，再加上除数
3.当第n+1步余数为负，需加上|y|得到第n+1步正确的余数。(余数和被除数同号)

正数原码补码相同。

补码除法运算（加减交替法）

双符号位表示
加减交替：
1.符号位和数值位一起参加运算，商符自然形成。数值均用补码表示
2.被除数和除数符号决定第一步做加法还是减法：
被除除同号，被除减除数
被除除异号，被除加除数
3.余除同号商上1，余左移1减除数
余除异号商上0，余左移1加除数
4.重复执行第3步操作n次
5.若对商的精度没有特殊要求，则一般采用”末位恒置1“法

总结