【限时免费】20天拿下华为OD笔试之【DP/贪心】2023B-观看文艺汇演-200分【闭着眼睛学数理化】全网注释最详细分类最全的华为OD真题题解

【DP/贪心】2023B-观看文艺汇演

题目描述与示例

某公园将举行多场文艺表演,很多演出都是同时进行,一个人只能同时观看一场演出,且不能迟到早退,由于演出分布在不同的演出场地,所以连续观看的演出最少有 15 分钟的时间间隔,小明是一个狂热的文艺迷,想观看尽可能多的演出。现给出演出时间表,请帮小明计算他最多能观看几场演出。

输入

第一行为一个数 N,表示演出场数,1 <= N <= 1000

接下来 N 行,每行两个空格分割的整数,第一个整数 T 表示演出的开始时间,第二个整数 L 表示演出的结束时间,TL 的单位为分钟,0 <= T <= 1440, 0 < L <= 100

输出

最多能观看的演出场数。

示例一

输入

2
720 120
840 120

输出

1

说明

第一场演出开始时间是第 720 分钟,经过 120 分钟演出结束,即第 840 分钟结束,此时还需要 15 分钟的间隔时间,即要等到第 855 分钟才可以看下一场演出,故来不及看第二场在第 840 分钟开始的演出。最多只能看 1 场演出。

示例二

输入

2
20 60
100 60

输出

2

说明

第一场演出开始时间是第 20 分钟,经过 60 分钟演出结束,即第 80 分钟结束,此时还需要 15 分钟的间隔时间,即要等到第 95 分钟才可以看下一场演出,第二场演出在第 100 分钟开始的演出,赶得上观看第二场演出。最多可以观看 2 场演出。

示例三

输入

4
10 20
100 20
150 60
80 40

输出

3

解题思路

注意,本题和 LC435. 无重叠区间几乎完全一致。

原始数据处理

我们可以储存每一场演出的开始和结束时间,即按照 [start, end] 的方式进行储存,储存在列表 intervals 中。由于题目要求每间隔 15 分钟才能够看下一场演出,所以我们可以把每一场演出的结束时间再加上 15 分钟,这样题目就转变为:考虑所有不重叠的 [start, end] 区间的最大数目。处理输入的代码如下

N = int(input())
intervals = list()
for _ in range(N):
    start, during = map(int, input().split())
    end = start + during + 15
    intervals.append((start, end))

贪心思想求解问题

为了方便我们贪心地思考问题,我们先按照开始时间 start 从小到大对间隔列表 intervals 进行排序。然后我们考虑相邻的两场演出,[start1, end1][start2, end2],由于 intervals 已经排序,必然存在 start1 <= start2 成立,故这两场演出之间的关系存只有以下三种可能性

  1. start1 < end1 <= start2 < end2,即演出 2 的开始时间在演出 1 的结束时间之后。故看完演出 1,可以继续看演出 2
  2. start1 <= start2 <= end1 <= end2,即演出 2 的开始时间在演出 1 的结束时间之前,但演出 2 的结束时间在演出 1 的结束时间之后。故看完演出 1 之后,没办法观看演出 2
  3. start1 <= start2 <= end2 <= end1,即演出 2 的开始时间和结束时间均在演出 1 的结束时间之前。故看完演出 1 之后,没办法观看演出 2。为了尽可能多地看更多的演出,选择演出 2 来观看会比选择演出 1 更好,因为演出 2 的结束时间更早,有充裕的时间去观看后续的演出。

理解了相邻两场演出的三种可能性之后,我们发现解决问题的关键实际上在于考虑演出 1 的结束时间 end1 和演出 2 的间隔 [start2, end2] 之间的关系:

  1. end1[start2, end2] 之前
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  2. end1[start2, end2] 之间
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  3. end1[start2, end2] 之后
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由于我们需要遍历排序后的间隔列表 intervals 中的每一个间隔 [start, end],因此可以维护变量 pre_end,表示上一场演出的结束时间。初始化 pre_end = -inf,表示第一场演出始终可以观看。

考虑当前间隔 [start, end] 和上一场演出结束时间 pre_end 之间的关系,我们可以得到以下逻辑:

  1. pre_end[start, end] 之前,我们可以选择当前的演出 [start, end] 进行观看

    • 能观看的演出场次 ans += 1
    • 由于选择了 [start, end] 进行观看,下一场演出的观看时间应该由当前的 end 决定,即对于下一场演出而言,当前结束时间 end 是上一场演出的结束时间,故更新 pre_end = end
  2. pre_end[start, end] 之间,我们不能选择当前的演出 [start, end] 进行观看

    • 由于 pre_end ≤ end,因此我们保留之前的 pre_end,作为判断下一场演出是否能观看的依据。故无需做任何事情。
  3. pre_end[start, end] 之后,我们不能选择当前的演出 [start, end] 进行观看

    • 由于 pre_end > end,选择 end 作为判断下一场演出是否能观看的依据是更佳的选择,即我们不去选择观看 pre_end 所对应的之前某场演出,而选择观看当前的演出 [start, end],这样的选择有利于后面留出充裕的时间来尽可能地观看更多演出,故更新 pre_end = end

整理上述逻辑后,代码为

for start, end in intervals:
    if start >= pre_end:
        ans += 1
        pre_end = end
    elif start < pre_end <= end:
        continue
    elif pre_end > end:
        pre_end = end

动态规划求解问题

实际上,当我们对间隔列表 intervals 排序之后,我们也可以把这个问题当作经典的 LIS 问题(LC300. 最长递增子序列)进行处理。
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譬如对于上述例子,我们所选的演出应该为演出 145
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换句话说,我们需要找到尽可能多的演出区间,所有演出区间均需要满足 start ≥ pre_end,其中 start 为第 i 个区间的开始时间,pre_end 为上一个区间即第第 i-1 个区间的结束时间。这是一个非常自然的 LIS 问题,故也可以用 dp 来解决问题。

我们考虑动态规划三部曲:

  1. dp数组的含义是什么?
  • dp 数组是一个长度为 n 的一维列表,dp[i] 表示包含了第 i 场演出 intervals[i] 的最长无重叠演出数目。
  1. 动态转移方程是什么?
  • 包含了第 i 场演出 intervals[i] 的最长无重叠演出数目,由前面的 i-1 场演出中(用索引 j 表示),结束时间 intervals[j][1] 小于当前演出开始时间 intervals[i][0]dp[j] 最大的那场演出决定。
for i in range(1, N):
    temp = 0
    for j in range(i):
        if intervals[j][1] <= intervals[i][0]:
            temp = max(dp[j], temp)
    dp[i] = temp + 1
  1. dp数组如何初始化?
  • 包含第 1 场演出的最长无重叠演出数目为 1
dp[0] = 1

代码

解法一:贪心

# 题目:2023B-观看文艺汇演
# 分值:200
# 作者:许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法:贪心
# 代码看不懂的地方,请直接在群上提问


from math import inf

# 输入演出的数目
N = int(input())

# 初始化间隔列表
intervals = list()
for _ in range(N):
    start, during = map(int, input().split())
    # 对于每一个结束时间都+15后再储存,方便后续进行比较
    end = start + during + 15
    intervals.append((start, end))
    
# 对intervals进行排序
intervals.sort()
ans = 0

# 初始化【上个区间结束时间】为pre_end = -inf
pre_end = -inf

# 遍历所有区间的起始时间和结束时间
for start, end in intervals:
    # 如果【当前起始时间】大于等于【上次结束时间】
    # 可以选择【当前区间】进行观看,接在【上个区间】后面
    # 同时 pre_end 应该修改为【当前结束时间】
    # 作为下一个区间的【上次结束时间】
    if start >= pre_end:
        ans += 1
        pre_end = end
    # 如果【上次结束时间】正好落在【当前区间】内
    # 则不能选择【当前区间】进行观看,保留【上个区间】
    # 无需做任何事情
    elif start < pre_end <= end:
        continue
    # 如果【上次结束时间】大于【当前结束时间】
    # 则应该选择【当前区间】进行观看,而不应该选择【上个区间】
    # 故 pre_end 应该修改为【当前结束时间】
    # 作为下一个区间的【上次结束时间】
    elif pre_end > end:
        pre_end = end

print(ans)

时空复杂度

时间复杂度:O(NlogN)。排序时间复杂度。

空间复杂度:O(1)。仅需要用到若干常数变量。

解法二:DP

# 题目:2023B-观看文艺汇演
# 分值:200
# 作者:许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法:dp(LIS问题)
# 代码看不懂的地方,请直接在群上提问


# 输入演出的数目
N = int(input())

# 初始化间隔列表
intervals = list()
for _ in range(N):
    start, during = map(int, input().split())
    # 对于每一个结束时间都+15后再储存,方便后续进行比较
    end = start + during + 15
    intervals.append((start, end))

# 对intervals进行排序
intervals.sort()
ans = 0

# 初始化长度为N的dp数组
dp = N * [0]
# 包含第1场演出的最长无重叠演出数目为1
dp[0] = 1

# 遍历所有演出
for i in range(1, N):
    # 初始化变量temp,用于找到前面的i-1场演出中,最长无重叠的演出场次
    temp = 0
    # 对于每一场演出i,遍历其前面的i-1场演出
    for j in range(i):
        # 如果演出j的结束时间,小于等于当前演出i的开始时间
        if intervals[j][1] <= intervals[i][0]:
            # 则更新temp
            temp = max(dp[j], temp)
    # 结束上述循环后,还需要考虑本场演出本身
    dp[i] = temp + 1


# dp数组中的最大值,即为最长无重叠的演出场次
# 也就是能够观看的最多的演出场次
print(max(dp))

时空复杂度

时间复杂度:O(N^2)。dp 过程需要进行双重循环。

空间复杂度:O(N)。dp 数组所占空间。

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