第九章 动态规划 part10 121. 买卖股票的最佳时机 122. 买卖股票的最佳时机II

第四十九天| 第九章 动态规划 part10 121. 买卖股票的最佳时机 122. 买卖股票的最佳时机II

一、121. 买卖股票的最佳时机

• 题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/

• 题目介绍：

  • 给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

    你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

    返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

    示例 1：

    输入：[7,1,5,3,6,4]
    输出：5
    解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
         注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
    

• 思路：

  • 注意：本题要求股票只能买卖一次

  • DP五部曲：

    • （1）确定dp数组及下标的含义：

      • dp[i][0]：表示的是第i天持有该股票，手中的最大的金额
        dp[i][1]：表示的是第i天不持有该股票，手中最大的金额
        

    • （2）确定递推关系：

      • 第i天持有该股票，手中的最大金额：

        • // 可以由前一天也持有，或者今天购入，推导出来
          dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
          

      • 第i天不持有该股票，手中的最大金额：

        • // 可以由前一天也不持有，或者前一天持有，今天卖出去，推导出来
          dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
          

    • （3）初始化dp数组：

      • dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        

    • （4）确定遍历顺序：

      • 正序

• 代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        // dp[i][0]：表示的是第i天持有该股票，手中的最大的金额
        // dp[i][1]：表示的是第i天不持有该股票，手中最大的金额
        // (1)确定dp数组及下标的含义
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        // (3)初始化dp数组
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        // (4)确定dp数组遍历顺序
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            // (2)确定递推关系
            // 第i天持有该股票，手中的最大金额，可以由前一天也持有，或者今天购入，推导出来
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
            // 第i天不持有该股票，手中的最大金额，可以由前一天也不持有，或者前一天持有，今天卖出去，推导出来
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }
}

二、122. 买卖股票的最佳时机II

• 题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/

• 题目介绍：

  • 给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

    在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

    返回 你能获得的 最大 利润 。

    示例 1：

    输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
    输出：7
    解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
         随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
         总利润为 4 + 3 = 7 。
    

• 思路：

  • 注意：本题股票可以买卖多次

  • DP五部曲：

    • （1）确定dp数组及下标的含义：

      • dp[i][0]：表示的是第i天持有该股票，手中的最大的金额
        dp[i][1]：表示的是第i天不持有该股票，手中最大的金额
        

    • （2）确定递推关系：

      • 第i天持有该股票，手中的最大金额（主要区别在这里）：

        • // 可以由前一天也持有，或者前一天没有持有，今天购入，推导出来
          dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);
          

      • 第i天不持有该股票，手中的最大金额：

        • // 可以由前一天也不持有，或者前一天持有，今天卖出去，推导出来
          dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
          

    • （3）初始化dp数组：

      • dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        

    • （4）确定遍历顺序：

      • 正序

• 代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        // dp[i][0]：表示的是第i天持有该股票，手中的最大的金额
        // dp[i][1]：表示的是第i天不持有该股票，手中最大的金额
        // (1)确定dp数组及下标的含义
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        // (3)初始化dp数组
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        // (4)确定dp数组遍历顺序
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            // (3)确定递推关系
            // 第i天持有该股票，手中的最大金额，可以由前一天也持有，或者前一天没有持有，今天购入，推导出来
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);
            // 第i天不持有该股票，手中的最大金额，可以由前一天也不持有，或者前一天持有，今天卖出去，推导出来
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[dp.length-1][1];
    }
}

总结：

• （1）在贪心算法章节，讲解了如何用贪心的思路解决“买卖股票的最佳时机II”。这里采用DP，因为买卖股票的最佳时机是贪心的一类题目，均可以通过一套思想来完成。

• （2）一定要正确理解dp数组的含义，再次强调一下：

  • dp[i][0]：表示的是第i天持有该股票，手中的中最大金额。
    持有该股票不意味着第i天买入该股票，可以是今天买入，也可以是保持前i-1的某一天买入股票的这个状态
    

  • dp[i][1]：表示的是第i天不持有该股票，手中的最大金额
    同样，不持有该股票，也不意味着第i天卖出股票，可以是今天卖，也可以是保持前i-1的某一天卖掉股票的这个状态
    

• （3）I和II不同的地方在于：

  • I是只可以买入股票一次，选择合适的一天卖掉
  • II可以买卖多次，只要保证买入的时候，手中没有股票，即买入的时候，上一支股票已经卖掉了

• （4）I和II的不同也直接导致了dp[i][0]递推公式的差别
  

  • I：由于I是只能购买一次，因此dp[i][0]是通过前一天持有该股票，或者今天买入股票决定的。而今天买入股票的时候，手里的最大金额是0
    

  • II：II可以买卖多次，因此dp[i][0]是通过前一天持有该股票，或者前一天不持有该股票手中的最大金额-今天购入股票的价格。