代码随想录算法训练营第四十二天 | 背包问题 二维 & 01背包问题 一维 & 416. 分割等和子集

1. 01背包问题 二维

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组

即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。 

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

当容量从1开始增大到 j 

那么当容量为 j 时，对于一个物品，只有取和不取两种状态：

不取 i，那 就是在 i-1 中任取 重量为 j 的物品 最大值即为 dp[i - 1][j]

取i，那么最大值就要从前一个状态推到而来，即从 i-1 物品 中取 j-weight[i] 重量 的最大价值（因为要留weight[i] 的重量给 i 用），加上当前 i 的价值

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

2. 01背包问题 一维 

倒序遍历背包：

因为在二维数组中，dp[i][j]是依据上一行的左边推导出来的，所以一维数组应该从右向左（倒序）遍历 （左边的数值没有被覆盖，才可以用）

//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
for (int i = 0; i < wLen; i++){
    for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

3. 分割等和子集

可以看成是 重量为 sum/2 的背包 能不能装 价值为11的物品

物品即是数字 每个数字的值 就是 重量 价值

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for(int num : nums) {
            sum += num;
        }

        //奇数不能平分
        if(sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum / 2; // 背包重量

        int[] dp = new int[target + 1];
        for(int i = 0; i < n; i++) { // 物品 即每一个正数
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {
                //物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
           //剪枝
            if(dp[target] == target)
                return true;
        }

        return dp[target] == target;
    }
}