排序算法(2)-算法的复杂度

1. 算法的时间复杂度

1.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1) 事后统计的方法

这种方法可行, 但是有两个问题：

• 一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；

• 二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

2) 事前估算的方法

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优

1.2 时间频度

1.基本介绍

时间频度：

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。[举例说明]

2.举例说明-基本案例

比如计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法：

时间频度

3.举例说明-忽略常数项

忽略常数项

结论:

1. 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略

2. 3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略

4.举例说明-忽略系数

忽略系数

结论:

1. 随着 n 值变大，5+7n 和 3 + 2n ，执行曲线重合, 说明这种情况下, 5 和 3 可以忽略。

2. 而 +5n 和 6+4n，执行曲线分离，说明多少次方式关键

1.3 时间复杂度

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅

助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。

记作 T(n)=Ｏ(f(n))，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2. T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂

度相同，都为 O(n²)。

3. 计算时间复杂度的方法：

• 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数

• 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

• 去除最高阶项的系数

1.4 常见的时间复杂度

常见的时间复杂度

说明:

• 1. 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
• 2. 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

分类:

1. 常数阶 O(1)

常数阶

2. 对数阶 O(log2n)

对数阶

3. 线性阶 O(n)

线性阶

4. 线性对数阶 O(nlog2n)

线性对数阶

5. 平方阶 O()

平方阶

6. 立方阶 O()

7. k 次方阶 O()

8. 指数阶 O()

参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n 循环，其它的类似

1.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

• 1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行间。
• 2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下时间复杂度。

  这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

• 3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关

排序概况

2.算法的空间复杂度

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。

2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法,基数排序就属于这种情况

3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.