高等数学笔记：反常积分敛散性判别法
繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
反常积分敛散性判别法
01 反常积分的比较判别法（保序性）
(1) 无穷限广义积分的比较判别法（保序性）
若 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , a > 0 , 且 有 f ( x ) ⩽ g ( x ) , 则 有 ∫ a + ∞ g ( x ) d x 收敛 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收敛. ∫ a + ∞ f ( x ) d x 发散 ⇒ ∫ a + ∞ g ( x ) d x 发散. \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned} 若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
(2) 瑕积分的比较判别法（保序性）
若 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , a > 0 , 且 有 f ( x ) ⩽ g ( x ) , 则 有 ∫ a + ∞ g ( x ) d x 收敛 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收敛. ∫ a + ∞ f ( x ) d x 发散 ⇒ ∫ a + ∞ g ( x ) d x 发散. \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned} 若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
02 反常积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
(1) 无穷限广义积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , a > 0 , g ( x ) ≠ 0 , 且 有 lim x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = l , 则 有 当 0 < l < + ∞ 时， ∫ a + ∞ f ( x ) d x 与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x 同敛散。 当 l = 0 时， ∫ a + ∞ g ( x ) d x 收敛 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收敛。 当 l = + ∞ 时， ∫ a + ∞ g ( x ) d x 发散 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x 发散。 若 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , 且 有 x → + ∞ , f ( x ) ∼ g ( x ) , 则 有 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x 同敛散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0
(2) 瑕积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , a > 0 , g ( x ) ≠ 0 , 且 有 lim x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = l , 则 有 当 0 < l < + ∞ 时， ∫ a + ∞ f ( x ) d x 与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x 同敛散。 当 l = 0 时， ∫ a + ∞ g ( x ) d x 收敛 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收敛。 当 l = + ∞ 时， ∫ a + ∞ g ( x ) d x 发散 ⇒ ∫ a + ∞ f ( x ) d x 发散。 若 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , 且 有 x → + ∞ , f ( x ) ∼ g ( x ) , 则 有 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x 同敛散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0
03 反常积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
(1) 无穷限广义积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若 函 数 f ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , K 是 任 意 正 常 数 , 则 有 若 f ( x ) ⩽ K x p , 且 p > 1 , 则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收 敛 。 若 f ( x ) ⩾ K x p , 且 p ⩽ 1 , 则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 发 散 。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned} 若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽xpK , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾xpK , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。
(2) 瑕积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若 函 数 f ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , K 是 任 意 正 常 数 , 则 有 若 f ( x ) ⩽ K ( b − x ) p , 且 p < 1 , 则 ∫ a b f ( x ) d x 收 敛 。 若 f ( x ) ⩾ K ( b − x ) p , 且 p ⩾ 1 , 则 ∫ a b f ( x ) d x 发 散 。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned} 若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽(b−x)pK , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾(b−x)pK , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。
04 反常积分的柯西判别法极限形式
(1) 无穷限广义积分的柯西判别法极限形式
若 函 数 f ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , 且 有 lim x → + ∞ x p f ( x ) = l , 则 有 当 0 ⩽ l < + ∞ , 且 p > 1 , 则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收 敛 。 当 0 < l < ⩽ ∞ , 且 p ⩽ 1 , 则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 发 散 。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l<\leqslant\infty \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned} 若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞limxpf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 0<l<⩽∞ , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。
(2) 瑕积分的柯西判别法极限形式
若 函 数 f ( x ) 在 [ a , + ∞ ] 上 非 负 可 积 , 且 有 lim x → + ∞ ( b − x ) p f ( x ) = l , 则 有 当 0 ⩽ l < + ∞ , 且 p < 1 , 则 ∫ a b f ( x ) d x 收 敛 。 当 0 < l ⩽ + ∞ , 且 p ⩾ 1 , 则 ∫ a b f ( x ) d x 发 散 。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} (b-x)^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l\leqslant+\infty \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned} 若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞lim(b−x)pf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。 当 0<l⩽+∞ , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。
05 反常积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
(1) 无穷限广义积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若 函 数 满 足 下 列 两 个 条 件 之 一 , 则 ∫ a + ∞ f ( x ) g ( x ) d x 收 敛 ( 阿 贝 尔 判 别 法 ) ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收 敛 , g ( x ) 在 [ a , + ∞ ) 上 单 调 有 界 ( 迪 利 克 雷 判 别 法 ) F ( A ) = ∫ a A f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上 有 界 , g ( x ) 在 [ a , + ∞ ) 上 单 调 且 lim x → + ∞ g ( x ) = 0 \begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x 在 [a,+\infty) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调且 \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0\\ \end{aligned} 若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且x→+∞limg(x)=0
(2) 瑕积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若 函 数 满 足 下 列 两 个 条 件 之 一 , 则 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x 收 敛 ( 阿 贝 尔 判 别 法 ) ∫ a b f ( x ) d x 收 敛 , g ( x ) 在 [ a , b ) 上 单 调 有 界 ( 迪 利 克 雷 判 别 法 ) F ( η ) = ∫ a b − η f ( x ) d x 在 [ a , b ) 上 有 界 , g ( x ) 在 [ a , b ) 上 单 调 且 lim x → b − g ( x ) = 0 \begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{b} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) d x 在 [a,b) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调且 \lim _{x \rightarrow b^-} g(x)=0\\ \end{aligned} 若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且x→b−limg(x)=0