线性代数让我想想：快速求三阶矩阵的逆矩阵

快速求三阶矩阵的逆矩阵

前言

一般情况下，我们求解伴随矩阵是要注意符号问题和位置问题的（如下所示）
$$\begin{array}{rl}& A^{-1}=\frac{1}{[]}\left[\begin{array}{ccc}& -[]& \\ -[]& & -[]\\ & -[]& \end{array}\right]=\\ & \\ & A^{-1}=\frac{1}{[]}{\left[\begin{array}{ccc}{M}_{11}& -[M_{12}]& M_{13}\\ -[M_{21}]& M_{22}& -[M_{23}]\\ M_{31}& -[M_{32}]& M_{33}\end{array}\right]}^{\top }\end{array}$$
我们根据位置安排(行调换)的策略可以避免符号问题，将问题进行化简。

例题一

求矩阵 $D$ 的逆矩阵
$$D=\left[\begin{array}{lll}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$$
我们把第一二列抄写到矩阵后面
$$D_1=\left[\begin{array}{lllll}2& 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 1& 1& 2\\ 2& 3& 1& 2& 3\end{array}\right]$$
然后把第一二行抄写到矩阵下面（新矩阵 $D_1$ 的第一二行），
这样我们就得到了一个五阶矩阵：
$$D_2=\left[\begin{array}{lllll}2& 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 1& 1& 2\\ 2& 3& 1& 2& 3\\ 2& 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 1& 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lllll}2& 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 1& 1& 2\\ 2& 3& 1& 2& 3\\ 2& 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 1& 1& 2\end{array}\right]$$
然后我们把第一行和第一列删除（新矩阵 $D_2$ 的第一行和第一列，将标蓝的元素删除）
$$D_3=\left[\begin{array}{llll}2& 1& 1& 2\\ 3& 1& 2& 3\\ 1& 1& 2& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right]$$
然后我们算出矩阵分块组成的九个二阶行列式：

然后我们将求出的九个行列式结果填充到伴随矩阵的框架里，记得加上转置符号
$${\left[\begin{array}{lll}-1& 1& -1\\ 2& 0& -4\\ -1& -1& 2\end{array}\right]}^{\top }=\left[\begin{array}{lll}-1& 2& -1\\ 1& 0& -1\\ -1& -4& 2\end{array}\right]$$
这样我们就得到了伴随矩阵，然后计算矩阵对应的行列式 $|D|=-2$，

最后根据公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$，求出逆矩阵 $D^{-1}$
$$D^{-1}=\frac{1}{|D|}{D}^{\ast }=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{lll}-1& 2& -1\\ 1& 0& -1\\ -1& -4& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\frac{1}{2}& -1& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 2& -1\end{array}\right]$$

例题二

求矩阵 $A$ 的逆矩阵
$$A=\left[\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 4& 2& 1\\ 9& 3& 1\end{array}\right]$$
抄写后对应的五阶矩阵为：
$$A_1=\left[\begin{array}{lllcc}1& 1& 1& 1& 1\\ 4& 2& 1& 4& 2\\ 9& 3& 1& 9& 3\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 4& 2& 1& 4& 2\end{array}\right]$$
删除后得到的四阶矩阵为：
$$A_2=\left[\begin{array}{lllc}2& 1& 4& 2\\ 3& 1& 9& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 4& 2\end{array}\right]$$
那么对应的伴随矩阵为：
$$A^{\ast }={\left[\begin{array}{lll}-1& 5& -6\\ 2& -8& 6\\ -1& 3& -2\end{array}\right]}^{\top }=\left[\begin{array}{lll}-1& 2& -1\\ 5& -8& 3\\ -6& 6& -2\end{array}\right]$$
矩阵对应的行列式为 $|A|=-2$，根据公式计算得到逆矩阵：
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{lll}-1& 2& -1\\ 5& -8& 3\\ -6& 6& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\frac{1}{2}& -1& \frac{1}{2}\\ -\frac{5}{2}& 4& -\frac{3}{2}\\ 3& -3& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$