没有上司的舞会

没有上司的舞会

题目描述

某大学有 $n$ 个职员，编号为 $1\dots n$。

他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。

现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 $r_i$，但是呢，如果某个职员的直接上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

输入格式

输入的第一行是一个整数 $n$。

第 $2$ 到第 $(n+1)$ 行，每行一个整数，第 $(i+1)$ 行的整数表示 $i$ 号职员的快乐指数 $r_i$。

第 $(n+2)$ 到第 $2n$ 行，每行输入一对整数 $l,k$，代表 $k$ 是 $l$ 的直接上司。

输出格式

输出一行一个整数代表最大的快乐指数。

样例 #1

样例输入 #1

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

样例输出 #1

5

提示

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 6\times 10^3$，$-128\le r_i\le 127$，$1\le l,k\le n$，且给出的关系一定是一棵树。

分析

这是一个使用动态规划思想解决的问题，我们在代码中定义了一个dp数组和happy数组来保存状态和快乐指数。

其中dp[i][0]表示不邀请第i个职员时的最大快乐指数，dp[i][1]表示邀请第i个职员时的最大快乐指数。

a数组用于保存每个职员的直接下属，v数组用于标记某个职员是否为其他职员的直接上司即可

代码

#include
using namespace std;
const int M=1e4;
int dp[M][2],happy[M];
int n;
int v[M];
vector<int> a[M];
void calc_dp(int u){
	dp[u][0]=0;
	dp[u][1]=happy[u];
	for (auto& v:a[u]){
		calc_dp(v);
		dp[u][0]+=max(dp[v][0],dp[v][1]);
		dp[u][1]+=dp[v][0];
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>happy[i];
	for (int i=1;i<=n-1;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		a[y].push_back(x);
		v[x]=1;
	}
	int root;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (!v[i]) {root=i;break;}
	calc_dp(root);
	cout<<max(dp[root][0],dp[root][1])<<endl;
	return 0;
}

方程

状态转移方程可以通过如下数学表达式表示： 设 $dp[u][0]$ 表示职员 $u$ 不参加舞会时的最大快乐指数，$dp[u][1]$ 表示职员 $u$ 参加舞会时的最大快乐指数。 对于职员 $u$，他可以选择参加舞会或者不参加舞会。如果他选择不参加舞会，则他的直接下属可以选择参加或不参加舞会，所以有以下状态转移方程: $$dp[u][0]=\sum _{v\in children(u)}\max (dp[v][0],dp[v][1])$$ 如果职员 $u$ 选择参加舞会，则他的直接下属必须都不参加舞会，所以有以下状态转移方程: $$dp[u][1]=happy[u]+\sum _{v\in children(u)}dp[v][0]$$ 其中 $children(u)$ 表示职员 $u$ 的直接下属集合。 根据这两个状态转移方程，可以用动态规划的方法求解最大快乐指数。