地理坐标（经纬度坐标）和屏幕坐标（xy坐标）间的转换

在我们的屏幕上，有一张地图，这张地图经过缩放、平移、旋转，最终地理坐标和屏幕坐标的关系大致如下图所示：

这种关系要怎么描述呢？我们可以假设地图是一张纸，而屏幕是一堵墙。只要我们有两个图钉，我们就能把纸定在墙上。我们把这两个点称为锚点。锚点在屏幕坐标系上的坐标是(x1,y1)和(x2,y2)，对应在地理坐标系上的坐标是(lon1,lat1)和(lon2,lat2)。

那现在的问题就变成了，已知两个锚点的坐标，

（1）地理坐标转屏幕坐标：已知任意一点的地理坐标(lon,lat)，求它在屏幕上的坐标(x,y)

（2）屏幕坐标转地理坐标：已知任意一点的屏幕坐标(x,y)，求它的经纬度坐标(lon,lat)

转换算法

1、地理坐标平面化

首先是地理坐标的平面化转化。在一个小范围内（例如是方圆几公里内），我们可以假设地面是平的，而不是弯的。如果经纬度都用弧度表示，那么1纬度对应的长度是：

1lat_len=R*lat

其中R是地球半径。

而相同经度间的距离会随着纬度的增加而减少，在lat这一纬度下，1经度对应的长度是：

1lon_len=R*lon*cos(lat)

那么，(lon,lat)这个坐标平面化后的坐标就是：(R*lon*cos(lat),R*lat)

2、向量法

由已知点和未知点组成两组向量：

由于坐标系转换是线性变换，所以两组向量有以下特性：

（1）两向量在不同的坐标系中的长度比是相同的。

（2）两向量在不同的坐标系中的夹角是相同的。

根据上面两个特性，我们可列出方程组：

设向量1为(dx1,dy1)，(dlon1,dlat1)，向量2为(dx2,dy2)，(dlon2,dlat2)，

其中dx1=x2-x1，dy1=y2-y1，dlon1=lon2-lon1，dlat1=lat2-lat1

dx2=x-x1，dy2=y-y1，dlon2=lon-lon1，dlat2=lat-lat1，

然后k1=norm(dx1,dy1)，k2=norm(dlon1,dlat1)，k3=norm(dx2,dy2)，k4=norm(dlon2,dlat2)

有方程组：

（1）k1/k2 = k3/k4

（2）(dx1*dlon1+dy1*dlat1)/k1/k2 = (dx2*dlon2+dy2*dlat2)/k3/k4

通过解上面的方程组，我们就能得到未知和屏幕坐标或未知的地理坐标。

3、C#代码实现

地理坐标转屏幕坐标：

double lon_cos = Math.Cos(lat2 * Math.PI / 180);

double m = (lon2 - lon1) * lon_cos;
double n = (lat2 - lat1);
double p = (lon - lon1) * lon_cos;
double q = (lat - lat1);

double M = x2 - x1;
double N = y2 - y1;

double a = (p * p + q * q) * (M * M + N * N) / (m * m + n * n);
double b = (m * p + q * n) * norm(M, N) * Math.Sqrt(a) / (norm(m, n) * norm(p, q));

double c = Math.Sqrt(b * b * N * N - (M * M + N * N) * (b * b - a * M * M));

double Q1 = (b * N + c) / (M * M + N * N);
double Q2 = (b * N - c) / (M * M + N * N);

double P1 = (b - Q1 * N) / M;
double P2 = (b - Q2 * N) / M;

double x_1 = P1 + x1;
double y_1 = Q1 + y1;
double x_2 = P2 + x1;
double y_2 = Q2 + y1;

double judge1 = (x_1 - x1) * (y2 - y1) - (y_1 - y1) * (x2 - x1);
double judge2 = (x_2 - x1) * (y2 - y1) - (y_2 - y1) * (x2 - x1);
double judge = (lon - lon1) * (lat2 - lat1) - (lat - lat1) * (lon2 - lon1);

double x = 0;
double y = 0;
if (judge * judge1 < 0)
{
    x = x_1;
    y = y_1;
}
else
{
    x = x_2;
    y = y_2;
}

屏幕坐标转地理坐标：

double lon_cos = Math.Cos(lat2 * Math.PI / 180);

double m = (lon2 - lon1) * lon_cos;
double n = (lat2 - lat1);

double M = x2 - x1;
double N = y2 - y1;
double P = x - x1;
double Q = y - y1;

double a = (P * P + Q * Q) * (m * m + n * n) / (M * M + N * N);
double b = (M * P + Q * N) * norm(m, n) * Math.Sqrt(a) / (norm(M, N) * norm(P, Q));

double c = Math.Sqrt(b * b * n * n - (m * m + n * n) * (b * b - a * m * m));

double q1 = (b * n + c) / (m * m + n * n);
double q2 = (b * n - c) / (m * m + n * n);

double p1 = (b - q1 * n) / m;
double p2 = (b - q2 * n) / m;

double lon_1 = p1 / lon_cos + lon1;
double lat_1 = q1 + lat1;
double lon_2 = p2 / lon_cos + lon1;
double lat_2 = q2 + lat1;

double judge1 = (lon_1 - lon1) * (lat2 - lat1) - (lat_1 - lat1) * (lon2 - lon1);
double judge2 = (lon_2 - lon1) * (lat2 - lat1) - (lat_2 - lat1) * (lon2 - lon1);
double judge = (x - x1) * (y2 - y1) - (y - y1) * (x2 - x1);

double lon = 0;
double lat = 0;
if (judge * judge1 < 0)
{
    lon = lon_1;
    lat = lat_1;
}
else
{
    lon = lon_2;
    lat = lat_2;
}