并查集

一、定义

并查集（Union Find）是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题（动态连通性问题），常常在使用中以森林来表示。

动态连通性
对于一系列整数，其中每个整数都表示一种类型的对象，一对整数p和q可以被理解为“p和q是相连的”。我们假设“相连”是一种对等的关系，这意味着“相连”具有以下性质：
①自反性：p和p是相连的；
②对称性：如果p和q是相连的，那么q和p也是相连的；
③传递性：如果p和q是相连的，q和r是相连的，那么p和r也是相连的。

1-1 动态连通性

并查集API定义：

1-2 并查集API定义

注：union方法用于将两个分量合并；find方法返回指定触点所在的连通分量标识

二、实现

基于加权和路径压缩的并查集算法：
1. 加权：
用一个数组保存当前各个连通分量的高度（权重），初始时都为1。
每次归并时，将权重小的连通分量接到权重大的连通分量上，同时权重加1。
2. 路径压缩：
每次查找一个触点的所属的连通分量标识（根结点）时，将所有路径上遇到的触点直接链接到根节点。

2-2 算法轨迹（不含压缩路径）

源码：

public class WeightedQuickUnionPathCompressionUF {
    private int[] parent;   // parent[i]：结点i的父亲结点
    private int[] size;     // size[i]：结点i所在的连通分量权重
    private int count;      // 连通分量个数
 
    public WeightedQuickUnionPathCompressionUF(int n) {
        count = n;
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;    // 初始时每个连通分量权重为1
        }
    }
 
    public int count() {
        return count;
    }
 
    /**
     * 返回结点p所在的连通分量标识
     */
    public int find(int p) {
        // 查找p的根节点root
        while (p != parent[p])
            p = parent[p];
        int root = p;
 
        // 将所有路径上遇到的触点直接链接到根节点
        while (p != root) {
            int tmp = parent[p];
            parent[p] = root;
            p = tmp;
        }
        return root;
    }
 
    /**
     * 判断结点p和结点q是否连通
     */
    public boolean connected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }
 
    /**
     * 根据权重，将结点p和结点q所在的连通分量合并
                  * （即将p的根结点和q的根结点连接） 权重相同时， 以p所在连
                  *  通分量作为连通标识
     */
    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;
 
        // 将权重小的连通分量链接到权重大的连通分量上
        if (size[rootP] < size[rootQ]) {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        } else {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        }
        count--;
    }
}

三、性能分析

并查集算法有很多种，下图给出了各类并查集算法的比较。

3-1 各类并查集算法比较

注：本文的实现中采用的是 基于加权和路径压缩的并查集算法 ，时间复杂度接近于O(1)。