HAOI2011 Problem b
Problem b
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做法：莫比乌斯反演。
思路：
对于给出的 n n n 个询问，每次求有多少个数对 ( x , y ) (x,y) (x,y)，满足 a ≤ x ≤ b a \le x \le b a≤x≤b， c ≤ y ≤ d c \le y \le d c≤y≤d，且 gcd ( x , y ) = k \gcd(x,y) = k gcd(x,y)=k， gcd ( x , y ) \gcd(x,y) gcd(x,y) 函数为 x x x 和 y y y 的最大公约数。
我们设
f ( n ) = ∑ i = 1 x ∑ j = 1 y [ n ∣ gcd ( i , j ) ] \operatorname{f}(n)=\sum\limits_{i=1}^x \sum\limits_{j=1}^y [n|\gcd(i,j)] f(n)=i=1∑xj=1∑y[n∣gcd(i,j)]
a n s = g ( n ) = ∑ i = 1 x ∑ j = 1 y [ gcd ( x , y ) = k ] ans=\operatorname{g}(n)=\sum\limits_{i=1}^x \sum\limits_{j=1}^y [\gcd(x,y)=k] ans=g(n)=i=1∑xj=1∑y[gcd(x,y)=k]
利用容斥原理，答案为图像上蓝色部分：
问题在于如何求 g ( x , y ) \operatorname{g}(x,y) g(x,y) 。
我们知道：
f ( n ) = ∑ n ∣ d g ( d ) \operatorname{f}(n)=\sum\limits_{n|d}\operatorname{g}(d) f(n)=n∣d∑g(d)
利用莫比乌斯反演可得：
g ( n ) = ∑ n ∣ d μ ( d n ) f ( n ) \operatorname{g}(n)=\sum\limits_{n|d}\operatorname{\mu}(\frac{d}{n})\operatorname{f}(n) g(n)=n∣d∑μ(nd)f(n)
μ ( d n ) \operatorname{\mu}(\frac{d}{n}) μ(nd) 可以利用线性筛求出， f ( d ) \operatorname{f}(d) f(d) 易得 f ( d ) = ⌊ x n ⌋ ⌊ y n ⌋ \operatorname{f}(d)=\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor \left\lfloor\frac{y}{n}\right\rfloor f(d)=⌊nx⌋⌊ny⌋
答案可以推出：
a n s = ∑ n ∣ d μ ( d n ) f ( d ) = ∑ i = 1 min ( x , y ) μ ( i ) ⌊ x i ⋅ n ⌋ ⌊ y i ⋅ n ⌋ ans=\sum\limits_{n|d}\operatorname{\mu}(\frac{d}{n})\operatorname{f}(d)=\sum\limits_{i=1}^{\min(x,y)}\operatorname{\mu}(i)\left\lfloor\frac{x}{i\cdot n}\right\rfloor \left\lfloor\frac{y}{i\cdot n}\right\rfloor ans=n∣d∑μ(nd)f(d)=i=1∑min(x,y)μ(i)⌊i⋅nx⌋⌊i⋅ny⌋
再利用数论分块以及前缀和优化一下就不会超时了。
代码：
#include