树与二叉树的基本概念 结构特点及性质

文章目录

      • 树的概念
        • 树的特点:
        • 树的常用术语:
        • 树的表示:
          • 代码创建:
        • 树在实际中的应用:
      • 二叉树的概念
      • 特殊的二叉树
        • 满二叉树
        • 完全二叉树
      • 二叉树的性质及其推导:
      • 练习题:
          • 习题1:
          • 习题2:
          • 习题3:


树的概念

数据结构中的定义的树比较有趣,它是我们所见真实树的倒置,然后再抽象的一种结构,比较有意思。同时使用树这种数据结构,可以描述现实生活中的很多事物,例如家谱、企业的组织架构等等。

树与二叉树的基本概念 结构特点及性质_第1张图片

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树是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。


树的特点:

1.每个结点有零个或多个子结点;
2.没有父结点的结点为根结点;
3.每一个非根结点只有一个父结点;
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树,称为当前结点的父结点的一个子树;


树的常用术语:

1.根结点:没有双亲节点的结点

2.孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点

3.双亲结点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点

4.节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度

5.叶结点:度为0的结点称为叶结点,也可以叫做终端结点

6.分支结点:度不为0的结点称为分支结点,也可以叫做非终端结点

7.结点的层次:从根结点开始,根结点的层次为1,根的直接后继层次为2,以此类推

8.结点的层序编号:将树中的结点,按照从上层到下层,同层从左到右的次序排成一个线性序列,把他们编成连续的自然数

9.树的度:树中所有结点的度的最大值

10.树的高度(深度):树中结点的最大层次

11.森林:m(m>=0)个互不相交的树的集合,将一颗非空树的根结点删去,树就变成一个森林;给森林增加一个统一的根结点,森林就变成一棵树

12.兄弟结点:同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点。


树的表示:

“左孩子右兄弟”表示法

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代码创建:
typedef int DataType;

typedef struct node
{
struct node child; //指向左孩子结点
struct node brother; //指向下一个兄弟结点
DataType data; //结构中的数据域,存储当前结点数据
}node;

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树在实际中的应用:

比如文件系统中的目录结构

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二叉树的概念

一种特殊的树,见名知意,只有两个分叉的树。特点是二叉树的度最大只能为2,也就是说每个结点的子节点最多只能有两个。

树与二叉树的基本概念 结构特点及性质_第5张图片


特殊的二叉树

满二叉树

核心点是 “满”

概念:每一层的结点都达到最大值**,且第n层的结点数量符合公式2^(n-1)**,层数是从1开始。

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1.定义: 高度为h,并且含有(2^h)-1个结点的二叉树
2.对于编号为 i 的结点,如果有双亲,双亲为 i/2 向下取整;如果有左孩子,左孩子编号为 2i,如果有右孩子,右孩子编号为 (2i + 1)


完全二叉树

概念:对于层数(n>=2)的树,其n-1层符合满二叉树,第n层结点必须满足从左向右都连续。

比如:

树与二叉树的基本概念 结构特点及性质_第7张图片

1.若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。
2.如果有度为 1 的结点,那只可能有一个,且该节点只有左孩子,而无右孩子


二叉树的性质及其推导:

性质1:二叉树第i层上的结点数目最多为 2^{i-1} (i≥1)

证明:下面用"数学归纳法"进行证明。
(01) 当i=1时,第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点,所以命题成立。
(02) 假设当i>1,第i层的节点数目为2^{i-1}。这个是根据(01)推断出来的!
下面根据这个假设,推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}“即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子,故"第(i+1)层上的结点数目” 最多是 “第i层的结点数目的2倍”。 即,第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2^{i-1}=2{i}。
故假设成立,原命题得证!

性质2:深度为k的二叉树至多有2^{k}-1个结点(k≥1)

证明:在具有相同深度的二叉树中,当每一层都含有最大结点数时,其树中结点数最多。利用"性质1"可知, 深度为k的二叉树的结点数至多为:
20+21+…+2k-1=2k-1
故原命题得证!

性质3:包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)

证明:根据"性质2"可知,高度为h的二叉树最多有2^h–1个结点。反之,对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

性质4:在任意一棵二叉树中,若终端结点的个数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

证明:因为二叉树中所有结点的度数均不大于2,所以结点总数(记为n)=“0度结点数(n0)” + “1度结点数(n1)” + “2度结点数(n2)”。由此,得到等式一。
(等式一) n=n0+n1+n2
  另一方面,0度结点没有孩子,1度结点有一个孩子,2度结点有两个孩子,故二叉树中孩子结点总数是:n1+2n2。此外,只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
(等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到:n0=n2+1。原命题得证!

性质5:

树的边的个数比节点数少一个,节点个数于节点边的关系: N个节点的树有N-1个边.

边与度的关系:N - 1 = 0N0+1N1 + 2 * N2+3N3+……+KNK

练习题:

习题1:

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树与二叉树的基本概念 结构特点及性质_第9张图片

习题2:

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习题3:

树与二叉树的基本概念 结构特点及性质_第12张图片

树与二叉树的基本概念 结构特点及性质_第13张图片


数据结构的树与二叉树基本概念、结构特点及性质的内容到此介绍结束了,下一章将会通过代码实现堆,并介绍TopK问题,敬请期待吧!感谢您的阅读!!!如果内容对你有帮助的话,记得给我点个赞——做个手有余香的人。

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