树与二叉树基本概念、结构特点及性质

目录

1树的概念及结构

1.1 树的特点

 1.2树的相关概念

 1.3树的表示

2二叉树

2.1概念

 2.3特殊的二叉树

 2.4二叉树的性质 

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1树的概念及结构

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因

为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

 

有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点

除根节点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i

<= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继

因此，树是递归定义 的。

1.1 树的特点

1.每个结点有零个或多个子结点；
2.没有父结点的结点为根结点；
3.每一个非根结点只有一个父结点；
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

 1.2树的相关概念

1.根结点:没有双亲节点的结点

2.孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点

3.双亲结点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点

4.节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度

5.叶结点：度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

6.分支结点：度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

7.结点的层次：从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

8.结点的层序编号：将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数

9.树的度：树中所有结点的度的最大值

10.树的高度(深度)：树中结点的最大层次

11.森林：m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

12.兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点。

 1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

 

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstchild1;   //第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother;  //指向下一个兄弟结点
 	DataType _data;              //结点中的数据域
};

无论树中一个结点有多少个孩子，都可以表示。因为我只指向第一个孩子，剩下的孩子，让孩子之间用兄弟指针串起来

 

2双亲表示法：

2二叉树

2.1概念

一种特殊的树,见名知意，只有两个分叉的树。特点是二叉树的度最大只能为2,也就是说每个结点的子节点最多只能有两个。

 

 2.3特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1（等比数列求和），则它就是满二叉树。

 

2. 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

概念：对于层数(n>=2)的树,其n-1层符合满二叉树,第n层结点必须满足从左向右都连续。

 

 

1.若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
2.如果有度为 1 的结点，那只可能有一个，且该节点只有左孩子，而无右孩子 

3.完全二叉树中度为1的结点最多只有一个

 2.4二叉树的性质 

性质1：若规定根结点的层数是1，二叉树第i层上的结点数目最多为 2^{i-1} (i≥1)

 证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
(01) 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
(02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2^{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}“即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目” 最多是 “第i层的结点数目的2倍”。 即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2^{i-1}=2{i}。

性质2：若规定根结点的层数是1，深度为k的二叉树至多有2^{k}-1个结点(k≥1)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知， 深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k-1

性质3：包含n个结点的二叉树的深度至少为log2 (n+1)

证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2^h–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)=“0度结点数(n0)” + “1度结点数(n1)” + “2度结点数(n2)”。由此，得到等式一。
(等式一) n=n0+n1+n2
　 另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
(等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。

性质5：树的边的个数比节点数少一个，节点个数于节点边的关系： N个节点的树有N-1个边.

边与度的关系：N - 1 = 0N0+1N1 + 2 * N2+3N3+……+KNK