《数值分析》-- 拉格朗日插值

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问题

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一、拉格朗日插值基函数

• n=1时一次基函数
  
• 两点线性插值问题
  

• 问题：即已知函数 f(x)在点$x_0$和$x_1$点的函数值
  $y_0$=f($x_0$)，$y_1$=f($x_1$).
  求线性函数 $L_1$(x)=$a_0$+$a_1$x
  使满足条件：$L_1$($x_0$)=$y_0$,$L_1$($x_1$)=$y_1$

①：把x=$x_0$带入$L_1$(x)中，$L_1(x_0)$ = $y_0$ + 0 = $y_0$
②：把x=$x_1$带入$L_1$(x)中，$L_1$($x_1$) = $y_0$ + ($y_1$-$y_0$)($x_1$-$x_0$) / ($x_1$-$x_0$) = $y_0$ + $y_1$ - $y_0$ = $y_1$

则称$l_0$(x)叫做点$x_0$的一次插值基函数， $l_1$(x)叫
做点$x_1$的一次插值基函数

当x=$x_0$时，$l_0$=1; x=$x_1$时，$l_0$=0;
当x=$x_0$时，$l_1$=0; x=$x_1$时，$l_1$=1;

• n=2时二次基函数
  

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二、拉格朗日插值多项式

对上述举例：

begin---------------------------------------------

• n=1时
  

①：把x=$x_0$带入$L_1$(x)中，L1(x0) = $y_0$ + 0 = $y_0$
②：把x=$x_1$带入$L_1$(x)中，L1(x1) = $y_0$ + ($y_1$-$y_0$)($x_1$-$x_0$) / ($x_1$-$x_0$) = $y_0$ + $y_1$ - $y_0$ = $y_1$
③：由此推广到$L_n$(x)的多项式,$L_n$($x_j$) = $y_j$ j=0,1,2,…,n

end-----------------------------------------------

再由插值多项式的唯一性: $P_n$( x) = $L_n$( x）

特别地:
当 n =1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.
当 n =2时又叫抛物（线）插值, 其几何意义为过三点的抛物线.

• 注意
  
  习题

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三、n次Lagrange插值多项式余项

截断误差$R_n(x)$=f(x) -$L_n$(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。

• 拉格朗日余项定理
  

${\omega }_n$${}_{+}$${}_1$($x$) = ($x$-$x_0$)($x$-$x_1$)($x$-$x_2$)…($x$-$x_n$)
由给定条件可知$R_n(x)$在节点$x_k$($k$=0,1,…,n)上为0，即 $R_n(x)$ = 0 ($k$=0,1,…,n)
插值节点$x_i$ 上误差等于零

• 截断误差限⭐（求误差会用到该公式）
  
• 结论例题⭐
  
  习题

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习题

• 例题

1. 
   
2. 
   
   

• 例题

1. 
   

2.

3. 
   
   
   
   
   
   

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总结

• 拉格朗日插值的优缺点
  

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