数学建模Matlab之评价类方法
大部分方法来自于http://t.csdnimg.cn/P5zOD
层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种结构决策的定量方法，主要用于处理复杂问题的决策分析。它将问题分解为目标、准则和方案等不同层次，通过成对比较和计算权重值来实现决策问题的定量分析。
主要步骤
-
建立层次结构模型：
- 首先确定决策问题的目标、准则和方案等不同层次，并构建层次结构模型。这个在代码中是没有的，需要提前进行。
-
成对比较构建判断矩阵：
- 通过成对比较各准则和方案的相对重要性，构建判断矩阵。
- 在层次分析法代码示例中，判断矩阵
A由用户输入。
-
计算权重值：
- 使用特征值方法计算判断矩阵的权重值。
- 示例代码中，通过求
A的最大特征值B和对应的特征向量C来计算权重值Q。
-
一致性检验：
- 进行一致性检验来确保判断矩阵的合理性。
- 代码中，使用一致性指标
CI和CR进行检验，如果CR<0.10，判断矩阵通过一致性检验。
-
结果输出：
- 输出各向量的权重向量
Q，表示每个准则或方案的相对重要性。 - 如果判断矩阵未通过一致性检验，需要对判断矩阵重新构造。
- 输出各向量的权重向量
代码示例
clc;
clear;
% 判断矩阵A，必须保证判断矩阵是互反的。每个元素 A(i, j) 表示第 i 个指标相对于第 j 个指标的重要性。
A= [1 3 5 5
1/3 1 3 5
1/5 1/3 1 3
1/5 1/5 1/3 1];
[m,n]=size(A); %获取指标个数
%RI 是一个随机一致性指数，它是用来进行一致性检验的。每个值 RI(n) 对应于一个n阶判断矩阵的一致性检验的标准值。
% RI 数组中只包含了11个值，这是因为通常情况下，判断矩阵的阶数不会超过11。如果有更多的指标，您可能需要查找或计算相应阶数的 RI 值。
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];
R=rank(A); %求判断矩阵的秩
[V,D]=eig(A); %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；
tz=max(D);
B=max(tz); %最大特征值
[row, col]=find(D==B); %最大特征值所在位置
C=V(:,col); %对应特征向量
CI=(B-n)/(n-1); %计算一致性检验指标CI
CR=CI/RI(1,n);
%代码进行一致性检验来确保判断矩阵的合理性。
%如果一致性检验通过（即 CR < 0.10），则继续计算权重；否则，需要重新构造判断矩阵。
if CR<0.10
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：');
Q=zeros(n,1);
for i=1:n
Q(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化
end
Q' %输出权重向量
else
disp('对比矩阵A未通过一致性检验，需对对比矩阵A重新构造');
end
sc = Q';
其中，有以下注意事项：
1.判断矩阵A，必须保证判断矩阵是互反的。
2.RI 是一个随机一致性指数，它是用来进行一致性检验的。RI 数组中只包含了11个值，这是因为通常情况下，判断矩阵的阶数不会超过11。如果有更多的指标，可能需要查找或计算相应阶数的 RI 值。
3.数模论文中只要使用到了层次分析法，就必须画层次结构图，无论文章是否需要压缩篇幅，这和层次分析法的使用绑在一起。
熵权法
熵权法同样是一种决策分析的方法，用于确定各个决策指标的权重。该方法主要依赖于信息熵的概念。在决策分析中，信息熵用来度量某个决策指标的离散程度。如果一个指标的变化越大（即更离散），那么它应该被赋予更大的权重。熵权法通过计算每个指标的信息熵来确定各个指标的权重。
主要步骤
-
非负数化和归一化处理:
- 代码中，首先进行了对原始数据的非负数化和归一化处理（
x(:,i)=(x(:,i)-min(x(:,i)))/(max(x(:,i))-min(x(:,i)))+1），使得所有数据值介于1和2之间。
- 代码中，首先进行了对原始数据的非负数化和归一化处理（
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计算概率值:
- 然后，计算每个数据点在其所在列的比例（
p(i,j)=x(i,j)/sum(x(:,j))），这可以被看作是数据点的概率值。
- 然后，计算每个数据点在其所在列的比例（
-
计算信息熵:
- 接下来，使用计算得到的概率值来计算每列（即每个决策指标）的信息熵（
E(j)=-k*sum(e(:,j))）。信息熵被用来度量一个随机变量的不确定性，即决策指标的离散程度。
- 接下来，使用计算得到的概率值来计算每列（即每个决策指标）的信息熵（
-
计算差异系数:
- 之后，计算每个指标的差异系数（
d=1-E）。差异系数用来度量一个指标与其他指标的差异程度。
- 之后，计算每个指标的差异系数（
-
计算权重:
- 最后，计算每个决策指标的权重（
w(j)=d(j)/sum(d)），这个权重代表了该指标在决策分析中的重要性。
- 最后，计算每个决策指标的权重（
-
计算综合分数:
- 使用计算得到的权重来计算每个数据点的综合分数（
score(i,1)=sum(x(i,:).*w)）
- 使用计算得到的权重来计算每个数据点的综合分数（
对于计算综合分数，可能说的比较模糊，作者举个例子，假设我们有以下简化的数据和权重：
x = [
1 2
3 4
] %数据
w = [0.3, 0.7] % 权重
则第一个数据点（也就是行向量[1,2]，在现实生活中可能代表某一个样本，分量值相当于熵权法的指标值，我们就是在求得各指标的权重后通过权重+样本的指标值求得样本的综合分数的）的综合分数计算如下：
score(1)=(1×0.3)+(2×0.7)=1.7score(1)=(1×0.3)+(2×0.7)=1.7
第二个数据点的综合分数计算如下：
score(2)=(3×0.3)+(4×0.7)=3.7score(2)=(3×0.3)+(4×0.7)=3.7
从而得到综合分数数组 score = [1.7, 3.7]。
通过这种方法，可以利用计算出的权重对每个数据点进行评分，从而进行进一步的分析和决策。
代码示例
x = [
2.41 52.59 0 9.78 1.17
1.42 53.21 0 6.31 1.63
4.71 35.16 1 9.17 3.02
14.69 15.16 2.13 10.35 7.97
0.94 72.99 0 7.39 0.61
1.43 72.62 0 8.16 0.51
2.21 67.5 0 9.84 0.85
3.79 51.21 0 12.95 1.43
1.23 85.09 3.97 4.08 0.13
1.71 82.07 2.88 4.97 0.33
3.63 66.9 3.18 8.57 0.71
5.72 49.77 3.44 10.52 1.83
1.49 79.51 6.53 2.58 0.27
1.66 81.44 5.18 2.74 0.36
2.41 76.32 5.88 4.13 0.54
4.42 59.65 7.64 8.38 1.02
3.27 88.42 3.36 2.85 0.14
11.27 70.05 5.77 6.07 0.19
13.18 62.45 5.66 7.85 0.74
15.83 56.28 2.92 9.97 1.14
11.59 80.23 1.04 3.64 0.2
26.67 55.7 2.02 8.13 0.38
28.51 51.07 2.12 9.66 1.46
3.69 87.26 0 3.12 0.18
3.27 84.43 0 5.43 0.31
3.98 79.99 0 6.62 0.57
1.59 86.5 0 6.14 0.14
4.31 82.26 0 4.71 0.2
4.6 72.79 0 8.27 0.52
4.99 81.93 0 7.52 0.16
4.66 75.09 0 10.24 0.33
5.08 61.02 1.57 15.7 0.53
12.49 83.06 0 1.2 1.06
4.67 92.77 0 0.33 0.58
5.8 90.32 0 0.91 0.8
97.76 0 0 0 2.14
94.75 0 0 1.42 2.83
93.76 0 0 1.18 3.24
3.48 81.43 7.45 1.33 0.14
4.2 80 5.3 2.21 0.18
8.83 71.28 5.34 2.9 0.43
5.39 79.6 6.87 2.64 0.31
7.67 74.74 5.91 3.4 0.66
19.65 55.4 4.87 6.14 1.2
2.63 90.74 3.18 1.42 0.14
2.8 89.7 2.85 1.96 0.14
4.07 85.12 3.43 3.52 0.25
5.7 83.4 0 4.48 0.1
4.03 81.35 0 6.18 0.19
4.11 73.45 0 9.71 0.45
2.78 89.53 0 4.23 0.2
3.92 83.2 0 7.59 0.32
5.21 71.37 3.09 10.29 0.72
18.98 76.81 0 1.05 0.31
19.79 73.56 0 0.88 0.42
19.86 70.07 0 1.72 0.74
16.61 67.57 3.77 3.15 1.16
6.91 82.18 4.19 0 0.1
2.93 83.06 1.93 5.14 0.32
8.47 78.11 4.04 4.02 0.31
12.29 70.48 3.89 4.32 0.69
3.98 84.81 4.76 1.97 0.18
7.67 78.13 4.22 4.57 0.35
14.04 66.89 4.41 6.27 0.47
14.62 59.29 5.28 8.35 0.77
1.97 85.16 4.87 3.27 0.23
2.16 86.83 3.82 2.25 0.15
4.81 74.9 5.05 5.97 0.5
7.44 57.98 6.75 10.73 1.04
2.04 86.01 4.79 2.95 0.13
3.49 79.79 5.67 4.28 0.15
6.47 68.02 6.71 5.74 0.2
7.94 59.12 7.14 5.93 1.42
];
[m,n]=size(x);
lamda=ones(1,n); % 人为修权，1代表不修改计算后的指标权重
for i=1:n
x(:,i)=(x(:,i)-min(x(:,i)))/(max(x(:,i))-min(x(:,i)))+1; % 对原始数据进行非负数化、归一化处理，值介于1-2之间
end
for i=1:m
for j=1:n
p(i,j)=x(i,j)/sum(x(:,j));
end
end
k=1/log(m);
for i=1:m
for j=1:n
if p(i,j)~=0
e(i,j)=p(i,j)*log(p(i,j));
else
e(i,j)=0;
end
end
end
for j=1:n
E(j)=-k*sum(e(:,j));
end
d=1-E;
for j=1:n
w(j)=d(j)/sum(d);% 指标权重计算
end
for j=1:n
w(j)=w(j)*lamda(j)/sum(w.*lamda);% 修改指标权重
end
for i=1:m
score(i,1)=sum(x(i,:).*w);% 计算综合分数
% 一个数据点对应矩阵每一行数据，根据大量的数据点，确定其权重，然后计算每一个数据点的综合得分（数据点本例中对应四个指标值，分别利用权重求得综合得分
end
disp('各指标权重为：')
disp(w) %权重越大，该指标在决策分析中的重要性越高。
disp('各项综合分数为：')
disp(score) %每个数据点的综合分数。综合分数可以被用来进行进一步的分析或决策。
Out = mean (score,1)