【Luogu】 P4649 [IOI2007] training 训练路径

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题目解法

好神仙的题啊！！！
首先一个合法的选路径方案等价于没有偶环出现
我们先判掉和树边能组成偶环的非树边
然后考虑一个结论是：如果有一条边被两个偶环都经过了一次，那么这个方案不合法
为什么？考虑把这两条路径的交去掉这两条路径的并，剩下的是一个偶环

考虑把删边变为加边，需要加上权值和最大的边使得方案合法
可以发现每个点的度数很小，于是考虑状压
令 $f_{u,S}$ 为在 $u$ 的子树中，$u$ 的儿子集合 $S$ 不考虑在内的方案数
这样只需要枚举每一条 $lca(x,y)=u$ 的非树边，然后转移即可
时间复杂度 $O(2^{10}m)$

#include 
using namespace std;
const int N=1100,M=5100;
int n,m,dp[N][1<<10],depth[N],fa[N];
int e[N<<1],ne[N<<1],h[N],idx;
int id[N][N],rv[N][20];
struct Node{ int x,y,z;}E[M];
vector<Node> qry[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
void add(int x,int y){ e[idx]=y,ne[idx]=h[x],h[x]=idx++;}
void dfs(int u){
	depth[u]=depth[fa[u]]+1;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]) if(e[i]!=fa[u]) fa[e[i]]=u,dfs(e[i]);
}
int get_lca(int x,int y){
	if(depth[x]>depth[y]) swap(x,y);
	while(depth[y]>depth[x]) y=fa[y];
	while(x!=y) x=fa[x],y=fa[y];
	return x;
}
void dfs2(int u){
	int cnt=0;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]) if(e[i]!=fa[u]){
		id[u][e[i]]=1<<cnt,rv[u][cnt]=e[i],cnt++;
		dfs2(e[i]);
	}
	for(int S=0;S<1<<cnt;S++)
		for(int i=0;i<cnt;i++) if(!(S>>i&1)) dp[u][S]+=dp[rv[u][i]][0];
	for(Node t:qry[u]){
		int x=t.x,y=t.y,res=t.z,exc=0;
		if(x!=u){
            res+=dp[x][0];
			while(fa[x]!=u) res+=dp[fa[x]][id[fa[x]][x]],x=fa[x];
			exc|=id[fa[x]][x];
		}
		if(y!=u){
            res+=dp[y][0];
			while(fa[y]!=u) res+=dp[fa[y]][id[fa[y]][y]],y=fa[y];
			exc|=id[fa[y]][y];
		}
		for(int S=0;S<1<<cnt;S++) if((S|exc)==S+exc) dp[u][S]=max(dp[u][S],dp[u][S+exc]+res);
	}
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	memset(h,-1,sizeof(h));
    int cnt=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=read(),y=read(),z=read();
		if(!z) add(x,y),add(y,x);
		else E[++cnt]={x,y,z};
	}
	dfs(1);
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		int lca=get_lca(E[i].x,E[i].y);tot+=E[i].z;
        if(~(depth[E[i].x]+depth[E[i].y]-2*depth[lca])&1) qry[lca].push_back(E[i]);
	}
	dfs2(1);
	printf("%d\n",tot-dp[1][0]);
	fprintf(stderr,"%d ms\n",int(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
	return 0;
}