除自身以外数组的乘积：高效解法与技术

背景

在计算机编程中，有一类有趣的问题涉及到在不使用除法的情况下，计算数组中每个元素除了自身以外其他元素的乘积。这篇技术博客将详细探讨这个问题，以及如何在时间复杂度为 O(n) 内解决它。

问题描述

leetcode 238
给定一个整数数组 nums，需要返回一个数组 answer，其中 answer[i] 等于数组 nums 中除了 nums[i] 之外的所有元素的乘积。请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]

示例 2:

输入: nums = [-1,1,0,-3,3]
输出: [0,0,9,0,0]

解决思路

为了解决这个问题，我们可以使用两次遍历来计算每个元素左侧和右侧的乘积，然后将它们相乘以获得最终的结果。这个思路可以分为以下步骤：

1. 计算左侧乘积： 首先，我们创建一个长度与 nums 相同的数组 ans，并初始化 ans[0] 为 1。然后，从左到右遍历 nums，对于每个元素 nums[i]，将 ans[i] 设置为 ans[i-1] * nums[i-1]。这样，ans[i] 将包含 nums[i] 左侧所有元素的乘积。

2. 计算右侧乘积并与左侧乘积相乘： 接下来，我们需要计算每个元素右侧的乘积，并与左侧乘积相乘以获得最终的结果。我们可以使用一个变量 R 来表示右侧乘积，初始化为 1。然后，从右到左遍历 nums，对于每个元素 nums[i]，将 ans[i] 与 R 相乘，然后将 R 乘以 nums[i]。这样，ans[i] 将包含 nums[i] 左右两侧所有元素的乘积。

3. 返回结果数组 ans。

代码实现

以下是使用Python编写的代码，实现了上述解决思路：

class Solution:
    def productExceptSelf(self, nums):
        length = len(nums)

        ans = [0] * length
        ans[0] = 1
        for i in range(1, length):
            ans[i] = ans[i-1] * nums[i-1]
        
        R = 1
        for i in reversed(range(length)):
            ans[i] = ans[i] * R
            R *= nums[i]

        return ans

时间复杂度分析

这个算法只需要两次遍历数组，因此时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组的长度。这个算法具有线性时间复杂度，可以高效地解决大规模数组的问题。

进阶问题

进阶问题是在O(1)的额外空间复杂度内完成这个题目。这个问题可以通过将左侧乘积和右侧乘积两个数组合并成一个数组来解决，从而达到O(1)的空间复杂度。但这需要更复杂的计算和处理。由于篇幅限制，本博客未对此问题进行详细讨论。

结论

除自身以外数组的乘积问题是一个常见的编程问题，需要在不使用除法的情况下计算每个元素的乘积。通过计算左侧乘积和右侧乘积，我们可以高效地解决这个问题，同时保持时间复杂度为 O(n)。理解这个问题的解决思路和技术背景对于编程中的实际问题非常有用。希望这篇博客能够帮助你更好地理解和解决除自身以外数组的乘积问题。