反向数学归纳法的提出与周氏猜测的证明

中国学者周海中根据已知的梅森素数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年2月正式提出了一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式。 后来这一重要猜想被国际数学界命名为 “周氏猜测” 。
周氏猜测的基本内容为：当 时， 有 个是素数； 即 时梅森素数的个数为 .
周氏猜测自提出以来一直受到人们关注，而且在一些国内外出版的数学辞典和教科书中都有介绍。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。
周氏猜测的表达式虽然简单，但破解这一猜测的难度却很大。就目前研究文献来看，一些数学家和数学爱好者尝试破解周氏猜测，却至今未能证明或反证。

即：当 时， 有 个是素数；

即：当 时， 梅森素数的个数为 ；

先看一道题：

已知数列 求数列的通项公式及前 项和
解： ,数列 为等比数数列，公比 所以 即 且
即 算术函数有这样的性质：

(1):
(2): 若 是（梅森）素数，则 必是素数；
(3): 在 时， 若 是素数，则必有 是梅森素数；若有 个是素数，则必有 个是梅森素数；好像在玩文字游戏！其实是有因果关系的。
(4): 时， 是一个梅森素数，需单独计算，所以

证明：（用反向数学归纳法）

假设 式在 时成立， 为素数， 表示在 之间的梅森素数的个数；且
那么，当 时，



并且： 和对应的
都成立； 还不知是否成立。如果成立的话，将有：
当 时， 梅森素数的个数为 即 , 都成立。

注：用数学归纳法假设当 时成立，不能推出 也成立。但用反向归纳法假设 时成立，却能推出 时成立，因为 是已知成立的，反向归纳法要比正向归纳法增加四个反向递推起始条件 当 时是正反归纳都要成立的基本条件。

反向数学归纳法：
一个包含正整数的集合如果具有如下性质，即若其包含整数 ，则其也包含整数 ，且 均在其中，那么这个集合一定是所以有正整数的集合。

反向数学归纳法成立的要件：

（1）基础步骤：（递推起始条件）当 时都成立（具有同一性质）；
（2）归纳步骤：（假设推导条件）当假设 成立时能推出 成立；
（3）那么 都成立。

它比正向归纳更加严密，多了四个递推起始条件。正向归纳中 被省略了，严格地说是不能省略的。因为当我们猜测的结论是错误的情况下，只考虑 不考虑 递推条件（基础步骤），而在归纳步骤中由假设 成立却能推出 也成立。这样的例子有很多，举例(错误)：

基础步骤：当 时结果为真，因为 没考虑
归纳步骤：假设对 来说结果为真，则对 来说也为真

所以：正向归纳也应当考虑 没考虑而省略了是因为猜测的结论是正确的。

由此可得下面结论：

1): ，若 是素数，则能推出 必是素数，且 都是素数，那么所有的 都是素数。由此推导出梅森素数是无穷多的。

如 得到塔顶是的塔形素数，是无穷多个；
如 但 不是素数，它有因子 所以 都不是素数；
所以：塔顶是 的塔形数，都是素数。 之后个位数都是 且为 形素数。
基本塔形素数:

派生塔形素数有无穷多个，比如：

2): 只包含有限个素数（基于 中 是偶数，不可能有 相同素性）；所以，单个 只包含有限个素数。
只包含有限个素数， 为奇数时 为偶数时 是偶数，不可能有 相同素性，不可能找到 同时是素数；

特别的有：当 时， 梅森素数的个数为 （如果 成立的话）。
反向数学归纳法若成立，可解决许多难题，从而打开一片新天地。

不知与5次及以上方程没有根式解有没有关系？

可惜专家认为：该文不具有学术价值，说周海中的猜测是天方夜谭。可见国内专家的水平！

编辑于 2017-03-16