第十二届蓝桥杯-杨辉三角形 详解

杨辉三角形

之前gitee把外链禁用了，导致图片显示不出来，现在已经解决了

题解

tips:以下说所的所有行和列是从0开始的，行是从左向右的，列是从上向下的！！！

首先我们需要知道的是，杨辉三角形其实就是组合数的一种形象化表示，第一行第一列代表的是$C_0^0$，而第二行第二列就是$C_1^1$……

那么我们学过组合数以后，很容易就知道第n+1行第m+1个元素（行列都是从0开始数）的值$C_n^m=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}$

观察题目给出的元素，我们会发现杨辉三角形是一个中心对称的图形，那么我们可以猜出，题目让我们要找整数$N$第一次出现的位置，那么我们可以确信的是，$N$第一次出现一定是在整个三角形的左半部分，所以我们可以把整个图形切成一半进行分析

如下：

我们通过观察可以发现，对于第$i$行，其最大值就在第$[\frac{i}{2}]$列(这里地行和列都是从0开始数的)

然后我们手动拿计算器或者写程序枚举一下，发现$C_{32}^{16}$是小于$10^9$的,而$C_{34}^{17}$是大于$10^9$的，所以我们可以从第16列开始往前枚举。（why:其实对于第$i$行，第$[\frac{i}{2}]$列($C_i^{[\frac{i}{2}]}$)确实是第$i$行的最大值，但是对于第$[\frac{i}{2}]$列，第$i$行($C_i^{[\frac{i}{2}]}$)其实是这一列的最小值，这个从上面的图应该可以看出来）

这里先说一下，在对半分的杨辉三角形中，一行的数据是从左向右递增的，一列的数据是从上至下递增的，我们想要找到一个数$N$的话，这个数第一次出现一定是在靠近右边列的地方，因为我们从最右边的列开始找，而最右边的列一定是这一列每个数所在行的最大值，如果找到了$N$，那么前面行的所有数一定不会大于$N$，那么他就是出现的第一个$N$了

所以这就是为什么要从右往左，从上向下查找的原因了。

我们发现列数并不多，但是行数很多，因为最坏的情况下，我们找到的第一个$N$就是在第N行的第1列($C_N^1$)，所以对于每一列，我们要从这一列的第一个元素$C_i^{[\frac{i}{2}]}$搜索到$C_N^{[\frac{i}{2}]}$，但是我们知道对于每一列的元素都是递增的，所以在进行列搜索的时候我们可以使用二分法来进行搜索

代码

package com.lanqiao;

import java.util.Scanner;

/**
 * @author 王宇哲
 * @date 2022/3/19 16:10
 */
public class 杨辉三角形 {


    static int N;

    /**
     * 求组合数

     * C_n^m = [n*(n-1)*...*(n-m+1)] / [1 * 2 * ... * m]
     * @param m 选几个球？
     * @param n 从几个球中选？
     * @return 选择方案数
     */
    static long C(int m, int n){
        long res = 1;

        for(int i = n, j=1; j<=m;j++,i--){

            res *= i;
            res /= j;

            //如过算出来已经大于N了，继续算不仅没意义，而且会越界，出现负数，扰乱判断
            if(res > N){
                return res;
            }

        }

        return res;

    }

    /**
     * 在这一列中搜索N第一次出现的位置
     * @param column 当前搜索的列数
     * @return N第一次出现的位置，没出现就返回-1
     */
    static long searchFirstAppearByColumn(int column){

        // 这一列的第一个元素是在2column处
        int left = 2 * column;

        //搜索到第N行就可以停止了
        //这里注意一下，如果搜索1，那么在第1列的时候，左边界是2，N是1
        //如果右边界是N的话最后搜索到的就是第1行第1列的1，那么输出结果就会变成3，这明显是不成立的
        //所以我们要保证开始搜索时左边界要小于等于右边界
        int right = Math.max(N,left);

        int mid = (left + right) >> 1;

        //暂存计算结果
        long tmpResult;

        //二分搜索
        while(left <= right){

            //位运算，相当于浅浅加个速，但是加了不少逼格
            mid  = (left + right) >> 1;

            tmpResult = C(column,mid);

            //找到了就退出循环
            if(tmpResult == N){

                break;
            }
            if(tmpResult > N){
                //如果找的数过大了，就从左区间继续找，为了避免死循环，右边界要减1
                right = mid-1;
            }else{

                //为了避免死循环，左边界要加1
                left = mid+1;
            }

        }


        //如果找到了的值确实是N
        if(C(column, mid) == N){

            //right是行号
            return (long) (mid) *(mid +1)/2 + column + 1;

        }

        return -1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        N = scanner.nextInt();

        long ans;

        for(int i = 16 ;i >= 0;i--){

            //赋值完来个比较，不是-1就是找到了，返回其位置
            if((ans = searchFirstAppearByColumn(i)) != -1){

                System.out.println(ans);

                break;
            }
        }
    }
}