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斜率优化DP

一.考虑如下DP方程

        1.m为常数，s表示数组前缀和

                        dp[i]=min(dp[j]+(s[j]-s[i]])^2)+m

        2.化简可得dp[i]=dp[j]+s[j]^2+s[i]^2-2s[i]s[j]+m

        3.观察式子可知，若想dp[i]更小,则需要dp[j] + s[j] ^ 2​​​​​​​更小

        4.因此dp方程转换为dp[j] + s[j] ^ 2 = dp[i] - s[i] ^ 2 + 2s[i]s[j] - m

                

        5.令y等于dp[j]+s[j]^2，k等于2s[i]，x等于dp[i]+s[i]^2+m

        6.又因为s[i]递增，因此用一个单调队列维护凸包即可

        

二.出队优化

        1.队首出队

                若存在两个点a,b,且a

                若i从b转移优于从a转移，则有                                                                                                            dp[b]+(s[i]-s[b]^2)+m<=dp[a]+(s[i]-s[a])^2+m

                化简式子后(dp[b]+s[b]^2)-(dp[a]+s[a]^2)<=2s[i](s[b]-s[a])

                又因为s[b]-s[a]>0,因此移项可得

                \frac{((dp[b]+s[b]^2)-(dp[a]+s[a]^2))}{(s[b]-s[a])}<=2s[i]时从队首弹出

        2.队尾出队

                考虑下方情况，因为斜率递增，因此答案取t1一定不优

                        斜率优化DP_第1张图片

                 因此要去掉t1,如果t1和t2斜率大于t1和i的斜率那么t1出队

                Yt1=dp[t1]+s[t1]^2\;\;\;\;Xt1=s[t1]

                Yt2=dp[t2]+s[t2]^2\;\;\;\;Xt2=s[t2]

                Yi = dp[i]+s[i]^2\;\;\;\;Xi=s[i]

                

                则k1=\frac{(Yt1-Yt2)}{(Xt1-Xt2)}\;\;\;\;\;k2=\frac{(Yi-Yt1)}{(Xi-Xt1)}

                若k1>=k2，则弹出t1，式子化简为

                        (Yt1-Yt2)*(Xi-Xt1)>=(Yi-Yt1)*(Xt1-Xt2)

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