01背包问题动态规划（二维数组）

01背包问题动态规划（二维数组）

问题描述

​ 一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn，求旅行者能获得最大总价值。

输入格式

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；

第2…N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

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2 1
3 3
4 5
7 9

输出格式

仅一行，一个数，表示最大总价值。

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代码

#include 
#include 
#include 
#include 

int main()
{
	int M, N; // M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；
	std::cin >> M >> N;
	int dp[N + 1][M + 1];

	// dp数组初始化全部 0;
	for (int i = 0; i < N + 1; i++)
		for (int j = 0; j < M + 1; j++)
			dp[i][j] = 0;
	int Wi[N + 1] = {0};
	int Ci[N + 1] = {0};
	memset(Wi, 0, sizeof(Wi));
	memset(Ci, 0, sizeof(Ci));
	for (int i = 1; i < N + 1; i++)
	{
		std::cin >> Wi[i] >> Ci[i];
	}
	/* for (int i = 0; i < N + 1; i++)
	{
		std::cout << Wi[i] << Ci[i] << std::endl;
	} */

	for(int i=1; i= Wi[i]) // 如果可以装下
			{
				dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);
			}
			else // 装不下
			{
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
		}
	}

	for(int i=0; i

总结

1.构造二维dp数组 dp[N+1][M+1],N是物品编号，M是背包重量。

2.边界dp[0][M+1] dp[N+1][0]全部初始化为0；

3.背包重量优先遍历（先从左到右，然后上到下）

for(int i=1; i= Wi[i]) // 如果可以装下
			{
				dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);
			}
			else // 装不下
			{
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}
		}
	}

4.遍历有两种情况

if(j >= Wi[i]) // 如果可以装下
{
dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);
}
else // 装不下
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}

如果装不下当前物品：

​ 那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。

dp[i][j] = dp[i-1][j];

如果装得下当前物品：

​ 假设1:装当前物品，在给当前物品预留了相应空间的情况下，前n-1个物品的最佳组合加上当前物品的价值就是总价值。
假设2:不装当前物品，那么前n个物品的最佳组合和前n-1个物品的最佳组合是一样的。
选取假设1和假设2中较大的价值，为当前最佳组合的价值。

dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-Wi[i]]+Ci[i]);

4.最后dp[N][M]就是问题的答案