leetcode1036. 逃离大迷宫(java)

题目描述

难度 - 困难
leetcode1036. 逃离大迷宫

在一个 106 x 106 的网格中，每个网格上方格的坐标为 (x, y) 。
现在从源方格 source = [sx, sy] 开始出发，意图赶往目标方格 target = [tx, ty] 。数组 blocked 是封锁的方格列表，其中每个 blocked[i] = [xi, yi] 表示坐标为 (xi, yi) 的方格是禁止通行的。
每次移动，都可以走到网格中在四个方向上相邻的方格，只要该方格 不 在给出的封锁列表 blocked 上。同时，不允许走出网格。
只有在可以通过一系列的移动从源方格 source 到达目标方格 target 时才返回 true。否则，返回 false。

示例 1：
输入：blocked = [[0,1],[1,0]], source = [0,0], target = [0,2]
输出：false
解释：
从源方格无法到达目标方格，因为我们无法在网格中移动。
无法向北或者向东移动是因为方格禁止通行。
无法向南或者向西移动是因为不能走出网格。

示例 2：
输入：blocked = [], source = [0,0], target = [999999,999999]
输出：true
解释：
因为没有方格被封锁，所以一定可以到达目标方格。

提示：
0 <= blocked.length <= 200
blocked[i].length == 2
0 <= xi, yi < 10^6
source.length == target.length == 2
0 <= sx, sy, tx, ty < 10^6
source != target
题目数据保证 source 和 target 不在封锁列表内

BFS + 给定障碍物所能围成的最大面积

我们用 sss 代指 source，用 ttt 代指 target，用 n 来代指 blocked 大小。
整理题意为：在一个足够大的空间里，有少数的障碍物，问两点是否连通。
当两点相隔较远时，常规的 BFS 做法可能会搜完整个棋盘，而棋盘大小为 10^6 * 10^6 ，会 超时。
考虑什么情况下两点会不连通？
当两个点中的任意一点被障碍物围住时，两点将无法连通。
一个很容易想到的思路是：从 s 跑一遍 BFS，然后从 t 跑一遍 BFS，同时设定一个最大访问点数量 MAX，若从两者出发能够访问的点数量都能超过 MAX，说明两点均没有被围住，最终必然会联通。
考虑如何敲定 MAX 的取值范围？直观感受，MAX 应该是一个与 blocked 大小相关的数。
但第一反应还是想从单秒计算量上界进行反推，两边 BFS 的复杂度均为 O(max⁡)，因此直接设定 MAX = 1e5 应该是比较合适的。
更小的 MAX 需要证明：在给定数量障碍物的前提下，障碍物所能围成的最大面积为多少。
首先，容易想到：任何一条封闭图形的直边都可以通过调整为斜边来围成更大的面积：

即组成封闭图形的边不可能有直边，同时由于是封闭图形，因此斜边直接必然是单点衔接，而不可能是平行（无法封闭）。
同时，想要达到最大面积，应当尽可能利用边界作为围成图形的某些边。
利用边界所能围成的最大封面图形 可以是「由边界提供两边，障碍物提供一边的三角形」。
如果不是该形状，则可以通过调整障碍物的直边为一条完整的斜边，来组成封闭三角形，围成面积不会变小：

即给定 nnn 的情况下，根据「等差数列求和」可知，最大所能围成的面积为 1+2+…+n−1=n∗(n−1)/2 。

因此如果从 sss 和 ttt 出发，能够访问的点数超过 n∗(n−1)/2 个，那么两点并没有被围住，必然联通。

代码演示:

class Solution {
    int EDGE = (int)1e6, MAX = (int)1e5;
    long BASE = 131L;
    Set<Long> set = new HashSet<>();
    int[][] dir = new int[][]{{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
    public boolean isEscapePossible(int[][] blocked, int[] s, int[] t) {
        for (int[] p : blocked) set.add(p[0] * BASE + p[1]);
        int n = blocked.length;
        MAX = n * (n - 1) / 2; // 可直接使用 1e5
        return check(s, t) && check(t, s);
    }
    boolean check(int[] a, int[] b) {
        Set<Long> vis = new HashSet<>();
        Deque<int[]> d = new ArrayDeque<>();
        d.addLast(a);
        vis.add(a[0] * BASE + a[1]);
        while (!d.isEmpty() && vis.size() <= MAX) {
            int[] poll = d.pollFirst();
            int x = poll[0], y = poll[1];
            if (x == b[0] && y == b[1]) return true;
            for (int[] di : dir) {
                int nx = x + di[0], ny = y + di[1];
                if (nx < 0 || nx >= EDGE || ny < 0 || ny >= EDGE) continue;
                long hash = nx * BASE + ny;
                if (set.contains(hash)) continue;
                if (vis.contains(hash)) continue;
                d.addLast(new int[]{nx, ny});
                vis.add(hash);
            }
        }
        return vis.size() > MAX;
    }
}