数据结构：地图着色问题——图的应用——回溯法

目录

前言

一、解决问题的思路

二、存储结构设计

三、代码

1.创建图函数

2.判断色号是否相同函数

3.回溯函数

4.整体代码

总结

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前言

本次解决的问题：用图模拟部分地图，对各省进行着色，要求相邻省所使用的颜色不同，并保证使用的颜色总数最少。

先来一张效果图

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一、解决问题的思路

将邻接矩阵创建好了以后，通过回溯函数，在解空间树中搜索所有的可行解，如果着色有冲突，就回溯到上一个节点。一旦到达叶子节点，也就是这个解到头了，就输出这种着色方案。

二、存储结构设计

a）

抽象数据类型：

        ADT Graph{

        数据对象V：一个非空集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。

        数据关系R：R={VR}，VR={ | P(x,y) ∧(x,y∈V)}

基本操作：

        Createmap(&G)

        操作前提:已知图G不存在。

        操作结果:创建图G。

        }ADT Graph;

(b) 存储结构：顺序表存储结构

        typedef struct{

           char vertax[MAX][MAX];//顶点所属的省份

           int map[MAX][MAX]; //邻接矩阵

           int n; //顶点个数

           int m;//边的个数

        }Graph;

三、代码

1.创建图函数

这里没什么好说的，都是创建图所需要的输入。顶点个数，顶点所代表的省份也就是顶点名称，边的个数，有边相连的两个顶点。

void Createmap(Graph &G) //创建邻接矩阵
{
	printf("请输入顶点(省份)个数：");
    int f=scanf("%d", &G.n);
    while(f!=1)
	{
		printf("输入值非法！\n");
		printf("请重新输入顶点(省份)个数：");
		fflush(stdin);
		f=scanf("%d", &G.n);
	}
    for(int i=1;i<=G.n;i++)
    {
    	printf("请输入第%d个顶点所代表的省份：",i);
    	cin>>G.vertax[i];
	}
    int u; //顶点1
    int v; //顶点2
    cout << "\n请输入边的个数：";
    cin >> G.m;
    cout << "请输入有边相连的两个顶点u和v："<< endl;
    for (int i=1;i<=G.m;i++)//为邻接矩阵赋值 
    {
        cin>>u>>v;
        G.map[u][v]=1;
        G.map[v][u]=1;
    }
    cout<

2.判断色号是否相同函数

先判断是否相连，如果相连则判断两个顶点颜色是否一样。如果顶点颜色不冲突，就返回真，反之返回假。

bool Find(Graph G,int t) //判断色号是否相同的函数
{
    for(int j=1;j

3.回溯函数

判断是否到达了叶子节点，如果没有，则开始试探这个顶点着此颜色行不行，行就向下递归，进入下一个节点开始着色试探，不行就换一种颜色继续试探，直到所有颜色被试探完。

void Backtrack(Graph G,int t) //回溯函数
{
    if(t>G.n) //到达叶子节点，打印一种填色方案 
    {
    	answer=0;//找到最少的颜色个数 
        sum++; //方案个数+1
        cout << "第"<< sum << "种方案：";
        for (int i=1;i<=G.n;i++)
        {
            cout << color[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i=1;i<=color_nums;i++) //尝试别的色号
        {
            color[t]=i;  //试探色号i 
            if(Find(G,t)) //如果色号没有撞
            {
                Backtrack(G,t+1); //向下递归 
            }
        }
    }
}

4.整体代码

#include 
using namespace std;
 
const int MAX=111;//最大存储个数 
typedef struct{
	char vertax[MAX][MAX];//顶点所属的省份 
	int map[MAX][MAX]; //邻接矩阵
	int n; //顶点个数
	int m;//边的个数
}Graph; 

int color[MAX]; //解空间，表示第i个省所填的颜色 
int sum=0; //记录有多少种方案

int color_nums=0; //颜色数量
int answer=1;

void Createmap(Graph &G) //创建邻接矩阵
{
	printf("请输入顶点(省份)个数：");
    int f=scanf("%d", &G.n);
    while(f!=1)
	{
		printf("输入值非法！\n");
		printf("请重新输入顶点(省份)个数：");
		fflush(stdin);
		f=scanf("%d", &G.n);
	}
    for(int i=1;i<=G.n;i++)
    {
    	printf("请输入第%d个顶点所代表的省份：",i);
    	cin>>G.vertax[i];
	}
    int u; //顶点1
    int v; //顶点2
    cout << "\n请输入边的个数：";
    cin >> G.m;
    cout << "请输入有边相连的两个顶点u和v："<< endl;
    for (int i=1;i<=G.m;i++)//为邻接矩阵赋值 
    {
        cin>>u>>v;
        G.map[u][v]=1;
        G.map[v][u]=1;
    }
    cout<G.n) //到达叶子节点，打印一种填色方案 
    {
    	answer=0;//找到最少的颜色个数 
        sum++; //方案个数+1
        cout << "第"<< sum << "种方案：";
        for (int i=1;i<=G.n;i++)
        {
            cout << color[i] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    else
    {
        for (int i=1;i<=color_nums;i++) //尝试别的色号
        {
            color[t]=i;  //试探色号i 
            if(Find(G,t)) //如果色号没有撞
            {
                Backtrack(G,t+1); //向下递归 
            }
        }
    }
}
 
void Print() 
{
	printf("\n最少需要%d种颜色",color_nums);
}

int main()
{
	cout << "用图模拟部分地图，对各省进行着色，要求相邻省所使用的颜色不同，并保证使用的颜色总数最少\n"<< endl;
	Graph G;

    Createmap(G);
    while(answer)
    {
    	color_nums++;//颜色总数+1 
    	Backtrack(G,1);	
	}
	 
    Print();
    return 0;
}

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总结

回溯算法采取的是这条路走不通就返回换下一条路走的思想，我觉得是蛮力法的优化算法，它避免了蛮力法穷举式的搜索。这是一种具有深度优先的策略，也就是如果某一个节点满足约束条件，则继续向下一个节点试探，直到找到解为止。虽然回溯法有限界和剪枝函数减小了搜索范围，但本身是类似于穷举思想，所以时间复杂度仍然很高，但也因此解决问题的范围很广。