C语言动态规划法解决0/1背包问题（详细解答）

动态规划法解决0/1背包问题（详细解答）

首先让我们回顾一下动态规划法的使用规则：

• 一.、动态规划法的实现思路：

1、划分子问题：将元问题分解为若干个子问题，每一个子问题对应一个决策，并且子问题之间具有重叠关系
2、确定动态规划函数：根据子问题之间的重叠关系找到子问题满足的递归关系式（即动态规划函数），这是实现思路的关键。
3、填写表格：设计表格，自下而上的方式计算各个子问题的解并填表，实现动态规划过程。

• 二、0/1背包问题

给定n中物品和一个背包，物品i（1<=i<=n）的重量是wi，其价值为vi，背包容量为C，对每种物品只有两种选择：装入背包或不装入背包，如何选择装入背包的物品，是的装入背包的总价值最大？

解题思路：

1. 我们设V（i,j）:表示前 i 个物品中某些物品和第 i 个物品放入容量为 j 的背包（书上的解释是：将前 i 个物品装入容量为 j 背包中（当然也包括第 i 个）），我认为书上的这种解释有待商榷，因为前 i 个物品不都会装入！！
2. 这时候要考虑四个问题：
   1.能装入（背包容量足够）
   2.能装入的情况下：装入
   3.能装入的情况下：不装入
   4.不能装入（背包容量不够）

是不是有点绕，来解释一波：

1、背包容量不足：当我们背包的容量不够的情况下，肯定是不能装入的，这思路很清晰，所以这个时候表示V（i，j）的价值和V（i-1，j）的价值一样，因为第 i 个没有放入。
2、背包容量足够：这时候肯定有人要问了，既然背包容量都足够放第 i 个，为啥不放进去呢？还会有不放入的情况呢？只要是放入价值肯定更大啊？我的解释：当我们将第 i 物品装入不一定达到当前最优解，应当在即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝中选出最优的解！如果前者更大：表示这第 i 个物品没有加入，如果后者更大：表示装入了第 i 个！

2、如果还没有理解透彻，我这有一个栗子：假设我们以能装就装的原则，你可能会装的很满，那如果我最后一个物品重量为2，价值一个亿！！！，那你前面都装了，就装不下这一个亿的价值的东西了，因为我们前面所做的一切操作要考虑会面的情况，并不是找局部的最优解，而是整体考虑填表去寻找整体的最优解，因为局部的最优加起来不能代表全体的最优！

3、我们加速，列出动态函数：

V（i，j）=V（i-1，j） j V（i，j）=max{ V（i-1，j），V（i-1，j-wi）+vi } j>=wi ;（能装下，前者不装，后者装）

4、ok我们开始列出我们另一个函数：关于物品取与不取的关系Xi：

Xi=0；表示第 i 个物品没有放入 V（i，j）= V（i-1，j）
Xi=1；表示第 i 个物品放入 V（i，j）> V（i-1，j） 或 V（i，j）= V（i-1，j-wi）+vi

**5、**列出动态规划表格

我们假设有5个物品，重量w{2，3，4，5}， 价值v{3，4，5，6}，背包容量为8.

1.首先边界初始化：V（0，j）= V（i，0）=0

2.
如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j 又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10……

最终答案：V（4,8）=10；

代码实现

int KnapSack(int w[],int v[],int n,int C)
{
	int i,j;
	for(i=0;i<=n;i++)
	{
		v[i][0]=0;
	}
	for(j=1;j<=c;j++)
	{
		v[0][j]=0;
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=0;j<=c;j++)
		{
			if(j<w[i])
			{	
				v[i][j]=v[i-1][j];
			}
			else{
				v[i][j]=max(v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]);
			}
	}
	for(j=c,i=n;i>0;i--)
	{
		if(v[i][j]>v[i-1][j])
		{
			x[i]=1;
			j=j-w[i];
		}
		else x[i]=0;
	}
	return v[n][c];
}