【面试经典150 | 矩阵】旋转图像

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专栏内容以分析题目为主，并附带一些对于本题涉及到的数据结构等内容进行回顾与总结，文章结构大致如下，部分内容会有增删：

• Tag：介绍本题牵涉到的知识点、数据结构；
• 题目来源：贴上题目的链接，方便大家查找题目并完成练习；
• 题目解读：复述题目（确保自己真的理解题目意思），并强调一些题目重点信息；
• 解题思路：介绍一些解题思路，每种解题思路包括思路讲解、实现代码以及复杂度分析；
• 知识回忆：针对今天介绍的题目中的重点内容、数据结构进行回顾总结。

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Tag

【原地操作】【数组】

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题目来源

面试经典150 | 48. 旋转图像

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题目解读

有一个二维矩阵，需要将二维矩阵顺时针旋转 90°，也就是行变到别的列（或者列变到别的行）操作。

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解题思路

方法一：原地旋转

四位置元素交换

我们知道本题中的旋转操作就是将行和列进行相应的转换，具体的就是将 (i, j) 位置元素转移到 (j, n - 1 - i)位置，其中 n 为矩阵的行数（或者列数）。比如旋转操作会将第一行第二列位置的元素转移到第二行最后一列的位置。

题目中要求我们进行原地旋转，原地旋转就是在原矩阵中利用当前位置的元素去覆盖旋转后的位置，用原旋转后的位置元素去覆盖该旋转位置旋转后的位置…，如果进行四次旋转直到回到初始的位置。比如说现在的位置是 (i, j)，记为位置 1：

• (i, j) 旋转后的位置为 (j, n - 1 - i)，记为位置 2；
• (j, n - 1 - i) 旋转后的位置为 (n - 1- i, n - 1 - j)，记为位置 3；
• (n - 1- i, n - 1 - j) 旋转后的位置为 (n - 1 - j, i)，记为位置 4；

原地旋转操作就是实现以上四个位置元素的交换。交换示意图如下所示。

枚举的位置范围

当 n 为偶数的时候，我们需要枚举 $n^2/4=(n/2)\times (n/2)$ 个位置；
当 n 为奇数时，由于中心的位置经过旋转后位置不变，我们需要枚举 $(n^2-1)/4=((n-1)/2)\times ((n+1)/2)$ 个位置。

实现代码

class Solution {
public:
	void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
		// 原地操作
		int n = matrix.size();
		for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
			for (int j = 0; j < (n + 1) / 2; ++j) {
				int temp = matrix[i][j];
				matrix[i][j] = matrix[n-j-1][i];
				matrix[n-j-1][i] = matrix[n-i-1][n-j-1];
				matrix[n-i-1][n-j-1] = matrix[j][n-i-1];
				matrix[j][n-i-1] = temp;
			}
		}
	}
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^2)$，$n$ 为矩阵 matrix 的行数（列数）。

空间复杂度：$O(1)$。

方法二：翻转代替旋转

还有一种实现原地旋转的方法，那就是利用翻转来代替旋转。具体地：

首先对矩阵进行水平翻转（第一行变成最后一行，第二行变成倒数第二行，…），然后再对矩阵沿着主对角线方向进行翻转，这样就实现了矩阵顺时针旋转 90° 的操作了。

以上的翻转就是交换操作。

实现代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();

        // 水平翻转
        for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                swap(matrix[i][j], matrix[n-1-i][j]);
            }
        }

        // 主对角线翻转
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
            }
        }
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^2)$，$n$ 为矩阵 matrix 的行数（列数）。

空间复杂度：$O(1)$。

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